Zadania seminára Matik, 34. ročník - Letný semester


Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise Matik-34-5
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise Matik-34-6
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Chulio a Vincenzo sú známi svojou záletnou povahou. Aby sa ich ženy o ničom od nikoho nedozvedeli, v niektoré dni každému klamú, zatiaľ čo zvyšné dni vravia pravdu. Chulio klame vždy len v stredu, sobotu a nedeľu a Vincenzo hovorí pravdu len v stredu, štvrtok a sobotu. Keď sa stretli v predsieni Palazzo di Arcobaleno, prebehol tento rozhovor:
  • Chulio: Buongiorno! Včera som klamal!
  • Vincenzo: Ciao! Aj ja!
Viete jednoznačne určiť, v ktorý deň prebehol tento rozhovor? Svoju odpoveď zdôvodnite.
2. Francesca dostala od Vincenza na výročie amulet s tromi tajnými prepážkami. Amulet má tvar trojuholníka $ABC$. Označme stredy strán $CB$ a $CA$ písmenami $K$ a $L$. Prepážka s jedom pripraveným pre Biancu tvaru štvoruholníka $ABKL$ má obvod $10cm$ a prepážka s fotkou Chulia tvaru trojuholníka $KLC$ má obvod $6cm$. Aká je dĺžka tretej tajnej prepážky tvaru úsečky $KL$?
3. Záhrada Palazzo di Arcobaleno je rozdelená na deväť záhonov oddelených chodníčkami a usporiadaných do štvorca $3\times3$. Niektoré záhony sú uzavreté pre verejnosť (zaznačené na plániku sivou farbou). Do každého záhonu v plániku sme vpísali číslo označujúce počet uzavretých záhonov (sivých políčok), s ktorými daný záhon susedí, či už chodníčkom alebo rohom. Na obrázku vidíte príklad, ako môže vyzerať plánik, v ktorom je súčet čísel v záhonoch $16$. Zistite, koľko existuje rôznych možností, ako uzavrieť záhony, aby sme na plániku mali súčet čísel $17$ (pričom uzavretia záhonov, ktoré vznikli otočením jedného uzavretia, rátame za tie isté).
obrazok
4. Obrus, do ktorého Francesca vyšíva, má tvar trojuholníka zloženého z kruhov ako na obrázku. Francesca chce vyšiť do každého kruhu toľko kvietkov, aby bol počet kvietkov v každej trojici kruhov, ktoré tvoria malý trojuholník (na obrázku vidíte vyfarbené príklady dvoch takých trojuholníkov) deliteľný piatimi. Do kruhov v dolných rohoch jej však ráno od zlosti Bianca vyšila $12$ kvietkov a $3$ kvietky. Aké rôzne počty kvietkov môže Francesca vyšiť do najvrchnejšieho kruhu? Nájdite všetky možnosti.
obrazok
5. Biancina mama Zita je už stará a potrebuje sa každé ráno prejsť do Parco Innamorato. Jej bežná trasa má tvar trojuholníka $ABC$, v ktorom uhol $CAB$ je dvakrát väčší ako uhol $ABC$ a zároveň uhol $ABC$ je menší ako $45$ stupňov. Os uhla $CAB$ pretína stranu $BC$ v bode $D$. Bod $E$ leží na priamke $AD$, ale mimo trojuholníka $ABC$ tak, že veľkosť uhla $BEA$ je 90 stupňov. Keď predĺžime úsečky $AC$ a $BE$ na~priamky, tak sa pretnú v bode $P$. Koľkokrát väčší je uhol $BDP$ ako uhol $ABC$?
6. Chulio a Vincenzo sa pohádali a rozhodli sa svoj spor vyriešiť súbojom myslí. Hrajú teda hru, kde od mamy Zity dostanú obrázok s $n \geq 3$ bodmi a $k$ úsečkami s koncovými bodmi v týchto bodoch. Najprv Chulio vyberie dva z týchto bodov a označí ich $A$ a $B$ a položí kamienok na bod $A$. Potom hru začína ťahom Vincenzo -- jeho ťah vyzerá tak, že posunie kameň po nejakej úsečke do jej druhého koncového bodu. Nasleduje Chuliov ťah -- zmaže jednu z úsečiek z obrázka. V týchto ťahoch sa postupne striedajú. Ak sa kamienok po nejakom počte ťahov presunie do bodu $B$, tak vyhrá Vincenzo a naopak vyhrá Chulio. Pri zadanej hodnote $n$, aké je najväčšie možné $k$ také, že Chulio vie vždy vyhrať?

Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise Matik-34-5
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise Matik-34-6
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Prednedávnom si ešte traja bratia Chulio, Vincenzo a Giovanni Tortelliniovci rozdeľovali rodinné peniaze v pomere $4 : 5 : 6$, najmenej dostával mladý Chulio a najviac najstarší Giovanni. Po tom, ako Giovanniho našli mŕtveho vo vlastnej komnate, Chulio navrhol, že si Giovanniho časť rozdelia s Vincenzom na polovice. Vincenzo však trval na tom, aby si aj túto časť rozdelili nerovnomerne ako zvyčajne, teda v pomere $4 : 5$. Vincenzo by totiž podľa Chuliovho návrhu dostal o $4000$ lýr menej ako podľa svojho. Koľko peňazí má dokopy rodina Tortelliniovcov?
2. Na maškarné bály v Palazzo di Arcobaleno je každý rok pozvaných $21$ hostí. Na posledných dvoch báloch sa zakaždým rozdelili do troch sál po sedem hostí. Ukážte, že niektorí traja hostia boli na oboch báloch spolu v jednej sále.
3. Bianca prišla na to, že ju Vincenzo podvádza a tak sa s ním pohádala, že lietali taniere. Konkrétne lietal jeden tanier tvaru konvexného $101$-uholníka. Najprv hodila tanier o zem Bianca a tým ho rozdelila pozdĺž ľubovoľnej uhlopriečky (Bianca aj Vincenzo vedia vždy hodiť tanier tak, aby sa rozdelil pozdĺž nimi zvolenej uhlopriečky) na dva mnohouholníky. Následne Vincenzo zobral zo zeme jeden z črepov tvaru mnohouholníka a znova ho hodom o zem roztrieštil na dva mnohouholníkové črepy pozdĺž ním zvolenej uhlopriečky. Takto striedavo hádžu črepy o zem, pričom hádku prehrá ten, kto už nemôže rozbiť žiaden črep. Kto z nich má vyhrávajúcu stratégiu a akú? Svoju odpoveď zdôvodnite.
4. Na obrázku vidíte plán Palazzo di Arcobaleno zložený z pravidelných mnohouholníkov. Sála na prízemí tvaru šesťuholníka a jedáleň na prvom poschodí tvaru tmavosivého trojuholníka sú vpísané do tej istej kružnice. Každá z troch rovnakých komnát tvaru modrého trojuholníka má obsah $17$. Určte obsah jedálne.
obrazok
5. Pali si do zošita na nočnom stolíku po každej epizóde zapisuje, koľkokrát už Francesca podviedla Chulia. Prvé dve čísla, ktoré napísal sú $1$ a $1$. Každé nasledujúce číslo, ktoré si zapísal, bolo súčinom predchádzajúcich dvoch zvýšeným o $1$. To znamená, že číslo, čo si napísal po tretej epizóde je $1\cdot1 + 1 = 2$. Ukážte, že číslo, čo si napísal po $2020$-tej epizóde, nie je deliteľné číslom 4.
6. Vo finále 23tej série sa Vincenzo dozvedá, že Bianca ho podviedla a rozhodol sa zavraždiť ju, rovnako ako posla tejto správy -- Chulia. Naháňajú sa teda po obvode kruhovej sály, pričom Vincenzo obehne celú sálu za $360$ sekúnd. Bianca beží dvakrát rýchlejšie ako Vincenzo a Chulio beží trikrát rýchlejšie ako Vincenzo. Začínajú z rovnakého miesta a behajú, pokým sa znovu všetci traja nestretnú na tom istom mieste. Akú dlhú dobu dokopy za tento čas bol trojuholník Vincenzo-Bianca-Chulio ostrouhlý?

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!