Zadania seminára Matik, 30. ročník - Letný semester


1. Trinásť detí sedí okolo okrúhleho stola. Chlapci sa rozhodnú, že budú stále klamať dievčatám a hovoriť pravdu chlapcom. Dievčatá sa rozhodnú, že budú stále klamať chlapcom a hovoriť pravdu dievčatám. Jedno z detí povie svojmu susedovi vpravo: „Väčšina z nás sú chlapci.“ Potom tento sused povie svojmu susedovi vpravo: „Väčšina z nás sú dievčatá.“ A takto sa budú výroky striedať ďalej, až kým posledné dieťa povie prvému: „Väčšina z nás sú chlapci.“ Koľko chlapcov je pri stole?
2. Rýchlik mal $2476$ vagónov, ktoré boli buď žlté, alebo čierne. Prvý vagón bol žltý. Deti si hneď všimli, že ak je nejaký vagón žltý, tak vagón $5$ a $13$ miest pred ním je žltý a aj vagón $5$ a $13$ miest za ním je žltý. Koľko čiernych vagónov mal vlak?
3. Každý z $1000$ kompótov má na sebe iné prirodzené číslo od $1$ do $1000$. Jožo má k dispozícii $10$ poličiek, na ktoré chce kompóty uložiť. Ako to má urobiť, aby pre všetky dvojice kompótov na jednej poličke platilo, že kompót s ich rozdielom sa na tej poličke nenachádza.
BONUS (za sladkú odmenu): Vie to Jožko zvládnuť aj s menším počtom poličiek? Ak áno, tak s akým a ako?
4. Obrázok je zložený zo $4$ zhodných štvorcov. Dokážte, že súčet veľkostí uhlov $\alpha$ a $\beta$ je rovný veľkosti uhla $\kappa$.
uloha4
5. Predavač im povedal, že každé z použitých písmen predstavuje inú cifru (napríklad $K$ by mohla byť $0$). Tiež im povedal, že ceny troch jeho produktov, konkrétne $\overline{ABACDE}$, $\overline{CAFDG}$ a $\overline{CHHBAED}$, predstavujú dĺžky strán nejakého trojuholníka (môže existovať trojuholník, ktorého strany majú tieto dĺžky), pričom $A$ a $C$ sú rôzne od $0$. Aké sú ceny týchto troch produktov?
6. S gejmbojom sa nedá prehrať práve vtedy, ak je tvar jeho displeja zložený z dvoch prelínajúcich sa rovnobežníkov $ABCD$ a $AEFG$, pričom platí, že bod $E$ je ľubovoľne umiestnený na strane $BC$ a bod $D$ je ľubovoľne umiestnený na strane $GF$. Aký je pomer obsahov týchto rovnobežníkov?

1. Vyšetrovatelia si vypočuli štyri deti. Polícia od svedkov vedela, že každé z detí bolo pri stole s gejmbojom práve raz. Pred výsluchom sa však deti dohodli, že vyšetrovateľom budú stále klamať. Každý uviedol dve výpovede:
  • Svorad: „Nikto z nás štyroch gejmboj nevymenil. Keď som odišiel, lebo mi bolo treba na záchod, gejmboj bol ešte pravý.“
  • Andrej: „Ja som ku stolu prišiel ako druhý. Keď som prišiel, gejmboj bol už vymenený.“
  • Marienka: „Ja som ku stolu prišla ako tretia. Keď som prišla, gejmboj ešte nebol vymenený.“
  • Jozefína: „Ten, kto gejmboj vymenil, neprišiel po mne. Keď som prišla, gejmboj už bol vymenený.“
Ktoré z detí vymenilo gejmboj?
2. Tabuľka $3\times3$ štvorcov je vyplnená číslami od $1$ do $9$, každým práve raz. V strede každého štvorca $2\times2$ je kruh a v ňom je napísaný aritmetický priemer čísel v štvorci. Ako treba rozostaviť čísla do tabuľky, aby bol aritmetický priemer čísel z kruhov najväčší možný?
3. Vypočítajte veľkosť uhla $BAC$ v trojuholníku $ABC$, keď viete, že je trikrát menší ako uhol $BOC$, pričom $O$ je stred kružnice vpísanej trojuholníku $ABC$ (Kružnica vpísaná trojuholníku je taká kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán trojuholníka. Jej stred leží na priesečníku osí uhlov trojuholníka).
4. Na ruletovom stole je štvorcová sieť o rozmeroch $4\times4$. Cieľom hry je zistiť, koľko navzájom nezhodných úsečiek (úsečiek s rôznymi dĺžkami) s krajnými bodmi v mrežových bodoch štvorcovej siete existuje v tejto sieti. Koľko ich existuje, ak by sieť mala rozmery $10\times10$?
5. Kartón v tvare štvorca $ABCD$ má stranu dlhú $36$. Bod $E$ leží na strane $AB$ tak, že $|EB| = 12$, bod $F$ leží v strede strany $BC$ a bod $G$ na strane $CD$ tak, že $|CG| = 12$. Aký je obsah plochy ležiacej v trojuholníku $EFG$, ale mimo trojuholníka $AFD$?
6. Bezdomovec im dal za úlohu dokázať, že ak $n$ je celé číslo väčšie ako $6$, a ak $n-1$ a $n+1$ sú prvočísla, tak číslo $n\cdot n(n\cdot n + 16)$ je deliteľné číslom $720$.
Nejaké čiastkové body sa budú dať získať aj za dokázanie deliteľnosti menšími číslami. Preto neváhajte a pošlite aj nekompletné riešenia ;-).

Aktuality

Prvá séria ukončená!
Koniec prvej série je už tu a spolu s ním aj vaše opravené úlohy a nové časopisy so vzorovými riešeniami a poradiami. Tak sa pustite do čítania, no nezabúdajte ani na druhú sériu! :)
(15. apríl 2019)

Pozrite sa..
..ako sme sa mali na sústredeniach Malynáru, Matika aj STROMu. Fotky sú už v galériách :)
(05. marec 2019)

Koniec zimného semestra
Zimný semester nám už skončil a tých najlepších z vás čaká sústredenie. Ak sa vám podarilo medzi nich prebojovať, nezabudnite vyplniť prihlášku.
(22. december 2018)

Presun termínu
Drahí riešitelia, termín druhej série zimného semestra sa presunul až na 26. novembra 2018, do 20:00, dúfame, že túto zmenu radi privítate! :)
(11. november 2018)

Zimná séria je tu!
Leto už skončilo a my sme si pre vás preto pripravili novučičký časopis so super príkladmi.
(11. september 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.