Tálec si pred odchodom do školy odložil svoj mamutí kel. Keď prišiel zo školy, kel bol fuč. Pri jeho hľadaní vyspovedal aj svojich kamarátov. Vedel, že jeden z nich klame a zvyšní hovoria pravdu. Toto mu povedali:

• Sapi: Tvoj kel má Ens.
• Ens: Neo kel nemá.
• Neo: Ander ti klame.
• Ander: Sapi má tvoj kel.

Tálec si pred odchodom do školy odložil svoj mamutí kel. Keď prišiel zo školy, kel bol fuč. Pri jeho hľadaní vyspovedal aj svojich kamarátov. Vedel, že jeden z nich klame a zvyšní hovoria pravdu. Toto mu povedali:

• Sapi: Tvoj kel má Ens.
• Ens: Neo kel nemá.
• Neo: Ander ti klame.
• Ander: Sapi má tvoj kel.

Ander kreslil na stenu jaskyne trojuholník $ABC$. Stred strany $AC$ označil $E$ a stred strany $BC$ označil $F$. Na priamke $EF$ leží bod $G$ taký, že $|EF| = |FG|$ pričom body $E$ a $G$ sú rôzne. Veľkosť uhla $FEA$ je $108$ stupňov a veľkosť uhla $ABC$ je $36$ stupňov. Aká je veľkosť uhla $BGC$?

Ander kreslil na stenu jaskyne trojuholník $ABC$. Stred strany $AC$ označil $E$ a stred strany $BC$ označil $F$. Na priamke $EF$ leží bod $G$ taký, že $|EF| = |FG|$ pričom body $E$ a $G$ sú rôzne. Veľkosť uhla $FEA$ je $108$ stupňov a veľkosť uhla $ABC$ je $36$ stupňov. Aká je veľkosť uhla $BGC$?

Neo a Tálec hrali hru. Najprv Neo napísal čísla $1$ až $6$ do vrcholov pravidelného šesťuholníka. Potom si Tálec vybral vrchol a pričítal k nemu čísla v susedných vrcholoch. Tálec dá Neovi toľko mušlí, aký súčet mu vyšiel, pričom platí, že Tálec vyberá vrchol tak, aby dal Neovi čo najmenej mušlí a Neo píše čísla do vrcholov tak, aby dostal čo najviac mušlí. Koľko mušlí dostal Neo? Dokážte, že viac mušlí nemôže dostať.

Neo a Tálec hrali hru. Najprv Neo napísal čísla $1$ až $6$ do vrcholov pravidelného šesťuholníka. Potom si Tálec vybral vrchol a pričítal k nemu čísla v susedných vrcholoch. Tálec dá Neovi toľko mušlí, aký súčet mu vyšiel, pričom platí, že Tálec vyberá vrchol tak, aby dal Neovi čo najmenej mušlí a Neo píše čísla do vrcholov tak, aby dostal čo najviac mušlí. Koľko mušlí dostal Neo? Dokážte, že viac mušlí nemôže dostať.

Vstup do Anderovej jaskyne má tvar rovnostranného trojuholníka $ABC$ so stranou dlhou $48$ stôp. Na strane $AB$ leží bod $E$ a na strane $BC$ ležia postupne body $D$ a $F$ tak, že obsahy trojuholníkov $AFC$, $AEF$, $EDF$ a $EBD$ sú rovnaké. Vypočítajte v stopách súčet dĺžok úsečiek $|EB| + |DB|$.

Vstup do Anderovej jaskyne má tvar rovnostranného trojuholníka $ABC$ so stranou dlhou $48$ stôp. Na strane $AB$ leží bod $E$ a na strane $BC$ ležia postupne body $D$ a $F$ tak, že obsahy trojuholníkov $AFC$, $AEF$, $EDF$ a $EBD$ sú rovnaké. Vypočítajte v stopách súčet dĺžok úsečiek $|EB| + |DB|$.

Neo a Ander si myslia dve rôzne kladné celé čísla. Súčet ich najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku je rovný $323$. Aké dvojice čísel si Neo a Ander mohli myslieť? Nájdite všetky možnosti a dokážte, že iné neexistujú.

Neo a Ander si myslia dve rôzne kladné celé čísla. Súčet ich najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku je rovný $323$. Aké dvojice čísel si Neo a Ander mohli myslieť? Nájdite všetky možnosti a dokážte, že iné neexistujú.

Ander a Tálec písali do piesku čísla nasledovným spôsobom: Začali dvomi ľubovoľnými číslami a každý ďalší člen vznikol ako súčet cifier predchádzajúcich dvoch členov. Napríklad, ak začneme s číslami 5 a 8, tak začiatok postupnosti vyzerá takto: $5, 8, 13, 12, 7, 10, ...$

• Dokážte, že ak prvé dva členy postupnosti sú ľubovoľné čísla menšie ako milión, tak potom štvrtý aj piaty člen je menší ako 100.
• Dokážte, že ak prvé dva členy postupnosti sú ľubovoľné čísla menšie ako 100, tak v postupnosti existuje člen taký, že všetky za ním nasledujúce čísla sú menšie ako 21.
• Dokážte, že ak prvé dva členy postupnosti sú ľubovoľné čísla menšie ako 100, tak v postupnosti existuje aj člen taký, že všetky za ním nasledujúce čísla sú menšie ako 19.
  Inštrukcie:

  • Preferovaný formát je jeden PDF súbor.
  • Každopádne, podporované formáty sú: .doc, .jpg, .png, .gif, .tiff
  • Tieto formáty budú skonvertované na PDF.
  • Môžete odovzdať viacero súborov, budú zlúčené do jedného PDF súboru.
  • Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB

  Solution:

Ander a Tálec písali do piesku čísla nasledovným spôsobom: Začali dvomi ľubovoľnými číslami a každý ďalší člen vznikol ako súčet cifier predchádzajúcich dvoch členov. Napríklad, ak začneme s číslami 5 a 8, tak začiatok postupnosti vyzerá takto: $5, 8, 13, 12, 7, 10, ...$

• Dokážte, že ak prvé dva členy postupnosti sú ľubovoľné čísla menšie ako milión, tak potom štvrtý aj piaty člen je menší ako 100.
• Dokážte, že ak prvé dva členy postupnosti sú ľubovoľné čísla menšie ako 100, tak v postupnosti existuje člen taký, že všetky za ním nasledujúce čísla sú menšie ako 21.
• Dokážte, že ak prvé dva členy postupnosti sú ľubovoľné čísla menšie ako 100, tak v postupnosti existuje aj člen taký, že všetky za ním nasledujúce čísla sú menšie ako 19.

Ohnisko tvaru obdĺžnika $ABCD$ má stranu $AB$ dlhú $3$ stopy a stranu $BC$ dlhú $1$ stopu. Bod $E$ je vzdialený pol stopy od úsečky $CD$, leží mimo obdĺžnika $ABCD$ a $|CE|=|DE|$. Aká je veľkosť uhla $AEB$?

Ohnisko tvaru obdĺžnika $ABCD$ má stranu $AB$ dlhú $3$ stopy a stranu $BC$ dlhú $1$ stopu. Bod $E$ je vzdialený pol stopy od úsečky $CD$, leží mimo obdĺžnika $ABCD$ a $|CE|=|DE|$. Aká je veľkosť uhla $AEB$?

U Nea na narodeninovej oslave sú chlapci a dievčatá a každý s každým sa buď pozná, alebo nepozná (je to vzájomné). Vieme, že na oslave je $12$ chlapcov a každý z nich pozná $6$ dievčat. Tiež vieme, že každé dievča pozná rovnaký počet chlapcov ako ostatné dievčatá. Koľko je na oslave dievčat? Nájdite všetky možnosti a dokážte, že iné nie sú.

U Nea na narodeninovej oslave sú chlapci a dievčatá a každý s každým sa buď pozná, alebo nepozná (je to vzájomné). Vieme, že na oslave je $12$ chlapcov a každý z nich pozná $6$ dievčat. Tiež vieme, že každé dievča pozná rovnaký počet chlapcov ako ostatné dievčatá. Koľko je na oslave dievčat? Nájdite všetky možnosti a dokážte, že iné nie sú.

Kožušina z mamuta má tvar štvoruholníka. Veľkosti uhlov štvoruholníka sú čísla zložené z cifier $a,b,c,d$ ako na obrázku. Nájdite všetky možné veľkosti uhlov a vysvetlite, prečo iné veľkosti uhlov nevyhovujú. Obrázok je iba ilustračný.

Kožušina z mamuta má tvar štvoruholníka. Veľkosti uhlov štvoruholníka sú čísla zložené z cifier $a,b,c,d$ ako na obrázku. Nájdite všetky možné veľkosti uhlov a vysvetlite, prečo iné veľkosti uhlov nevyhovujú. Obrázok je iba ilustračný.

Tálec s Anderom sa zamýšľali nad domácou úlohou z matematiky. Hľadali všetky prvočísla, ktoré sa nedali zapísať ako súčet dvoch zložených čísel. Pomôžte im ich nájsť a dokážte, že žiadne ďalšie neexistujú.

Tálec s Anderom sa zamýšľali nad domácou úlohou z matematiky. Hľadali všetky prvočísla, ktoré sa nedali zapísať ako súčet dvoch zložených čísel. Pomôžte im ich nájsť a dokážte, že žiadne ďalšie neexistujú.

Neo si zvolil nejaké číslo $k$. Následne k jaskynnej stene prišiel Tálec a napísal nejakých $k+2$ rôznych kladných celých čísel. Dokážte, že medzi číslami na stene sa určite nachádza buď dvojica čísel s rozdielom deliteľným $2k$, alebo dvojica čísel so súčtom deliteľným $2k$.

Neo si zvolil nejaké číslo $k$. Následne k jaskynnej stene prišiel Tálec a napísal nejakých $k+2$ rôznych kladných celých čísel. Dokážte, že medzi číslami na stene sa určite nachádza buď dvojica čísel s rozdielom deliteľným $2k$, alebo dvojica čísel so súčtom deliteľným $2k$.

Hrot Anderovho oštepa je tvaru trojuholníka $ABC$, kde dĺžka úsečky $AC$ je $12$ palcov a veľkosť uhla $ACB$ je $120$ stupňov. Os tohto uhla pretína stranu $AB$ v bode $D$. Taktiež vieme, že $|AE|=|EC|=|CB|$, kde $E$ je stred strany $AC$. Koľko palcov má úsečka $CD$? Dĺžku je potrebné vyjadriť presne, a teda bez pomoci rysovania.

Hrot Anderovho oštepa je tvaru trojuholníka $ABC$, kde dĺžka úsečky $AC$ je $12$ palcov a veľkosť uhla $ACB$ je $120$ stupňov. Os tohto uhla pretína stranu $AB$ v bode $D$. Taktiež vieme, že $|AE|=|EC|=|CB|$, kde $E$ je stred strany $AC$. Koľko palcov má úsečka $CD$? Dĺžku je potrebné vyjadriť presne, a teda bez pomoci rysovania.