Po dlhom večeri vo vnútri salónika v tvare štvorca $ABCD$ leží opitý kupec $E$ tak, že trojuholník $DEC$ je rovnostranný. Na hrane $BC$ leží špeh $F$, pričom $|EB|=|EF|$. Aká je veľkosť uhla $CEF$?

U neskrotného diviaka mali pred bitkou tridsať stolov označených prirodzenými číslami $2$ až $31$. Práve dva stoly patrili do salónika. Aby personál pri inventúre zistil, ktoré dva to sú, používal trik. Na dverách salónika bola tabuľka s číslom, ktoré nebolo deliteľné číslami stolov zo salónika, ale číslami všetkých ostatných stolov áno. Okrem toho, čísla stolov v salóniku nasledovali po sebe. Ktoré dve čísla to boli?

Samopočet funguje presne ako kalkulačka. Hostinský chcel na samopočte sčítať niekoľko trojciferných prirodzených čísel. Na prvý pokus dostal výsledok $2224$. Pre kontrolu sčítal tieto čísla znova a vyšlo mu $2198$. Preto sčítal tieto čísla ešte raz a teraz dostal súčet $2204$. Piate pripočítavané číslo zadal totiž vždy nesprávne, lebo pri každom pokuse nestlačil niektorú z jeho cifier dostatočne silno a do samopočtu tak zadal vždy namiesto trojciferného čísla číslo dvojciferné. Žiadne ďalšie chyby pri sčítavaní už nespravil a samopočet taktiež tentokrát fungoval bezchybne. Aký je správny súčet hostinského čísel?

Na špeciálnom stolčeku, ktorý hostinský vyniesol zo zadnej časti kuchyne, bola na pozadí umeleckého stvárnenia niekdajšej križovatky uprostred divočiny vyrezaná mriežka $8\times9$ políčok. V juhozápadnom rohu (políčko $A1$) leží hrací kameň. Pohybuje sa z políčka na políčko. Na ploche je tiež čierny stĺp, cez ktorý sa nedá pohybovať (ani preskočením). Dvaja hráči sa striedajú v ťahoch kameňom o ľubovoľný počet políčok na východ alebo sever. Víťazom je ten, kto dostane kameň svojím ťahom do cieľa (políčko $H9$). Rozhodnite a odôvodnite, či pre niektorého z hráčov existuje víťazná stratégia. Ak áno, popíšte ju. (Víťazná stratégia je návod, ako má hráč hrať, aby vždy vyhral, nech ten druhý hrá akokoľvek.)

Miestnosť má tvar konvexného štvoruholníka $ABCD$ (to znamená, že všetky jeho vnútorné uhly majú menej ako $180^\circ$). Každá stena miestnosti je dvoma stolmi rozdelená na tri rovnako dlhé úseky ako na obrázku (stoly sú $K$, $P$, $L$, $Q$, $M$, $R$, $N$, $S$). Dokážte, že oblasti $KLMN$ a $PQRS$ majú zhodný obsah.

Na cintoríne tvoria hroby políčka mriežky $2019\times2019$. Na každom z hrobov uvidí okoloidúci ľaliu, gerberu, chryzantému alebo mach (práve jedno z toho). Štvorec z hrobov veľkosti $2\times2$ vždy zahŕňa každú rastlinu. Dokážte, že niekde na cintoríne existuje rad hrobov $2019 \times 1$ alebo $1 \times 2019$, ktorý obsahuje iba dva druhy rastlín.

V hostinci je $12$ štvorcových stolov so stranami $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $4$, $5$, $5$, $6$. Barón chce mať tieto stoly rozdelené na dve skupiny tak, aby bol v oboch skupinách rovnaký súčet obsahov aj obvodov štvorcov. Dokážte, že túto barónovu požiadavku v tomto hostinci nemožno splniť.

V hostinci je $12$ štvorcových stolov so stranami $1$, $1$, $2$, $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $4$, $5$, $5$, $6$. Barón chce mať tieto stoly rozdelené na dve skupiny tak, aby bol v oboch skupinách rovnaký súčet obsahov aj obvodov štvorcov. Dokážte, že túto barónovu požiadavku v tomto hostinci nemožno splniť.

Kým prírodu si obľúbil, kartové hry otcových zazobaných hostí z duše neznášal. V štvorcovej sieti je trojuholník $LES$ ako na obrázku. Určte súčet $|\sphericalangle ZLE|+|\sphericalangle ESO|$.

Kým prírodu si obľúbil, kartové hry otcových zazobaných hostí z duše neznášal. V štvorcovej sieti je trojuholník $LES$ ako na obrázku. Určte súčet $|\sphericalangle ZLE|+|\sphericalangle ESO|$.

Lotta má $16$ rokov, Dieter $12$. Pri pozorovaní a obsluhovaní tejto podivuhodnej spoločnosti starých alchymistov si všimli, že ak Lotta pridá svoj vek k vekom alchymistov, tak sa ich priemerný vek zníži o $10$ rokov. Ak sa k Lottinmu veku pridá aj ten Dieterov, tak sa priemerný vek zníži o ďalších $8$ rokov. Aký je priemerný vek spoločnosti alchymistov?

Lotta má $16$ rokov, Dieter $12$. Pri pozorovaní a obsluhovaní tejto podivuhodnej spoločnosti starých alchymistov si všimli, že ak Lotta pridá svoj vek k vekom alchymistov, tak sa ich priemerný vek zníži o $10$ rokov. Ak sa k Lottinmu veku pridá aj ten Dieterov, tak sa priemerný vek zníži o ďalších $8$ rokov. Aký je priemerný vek spoločnosti alchymistov?

Kornel sa chcel zblížiť so svojimi pisárikmi a svojimi dôstojnými poslucháčmi a to sa najlepšie robí pri riešení spoločného problému. Oznámil im preto: Milé deti, všimol som si, že ak by vás bolo v miestnosti dvakrát viac, ako je teraz, a potom by jedno z vás odišlo, tak by váš počet bol deliteľný počtom učencov, ktorí sú teraz v miestnosti. Rovnako, ak by bol počet učencov v miestnosti dvojnásobný a jeden z nich by potom odišiel, tak by ich počet bol deliteľný počtom detí, ktoré sú teraz v miestnosti. Skúste teraz spoločne nájsť všetky možné počty detí a učencov v miestnosti.

Kornel sa chcel zblížiť so svojimi pisárikmi a svojimi dôstojnými poslucháčmi a to sa najlepšie robí pri riešení spoločného problému. Oznámil im preto: Milé deti, všimol som si, že ak by vás bolo v miestnosti dvakrát viac, ako je teraz, a potom by jedno z vás odišlo, tak by váš počet bol deliteľný počtom učencov, ktorí sú teraz v miestnosti. Rovnako, ak by bol počet učencov v miestnosti dvojnásobný a jeden z nich by potom odišiel, tak by ich počet bol deliteľný počtom detí, ktoré sú teraz v miestnosti. Skúste teraz spoločne nájsť všetky možné počty detí a učencov v miestnosti.

Jednej noci sa Oto chcel zabaviť s Dieterom a tým, čo mu zostalo po otcovi. Zobrali si zo zachovaného voza trhaviny a začali hrať hru. Oto začína a striedajú sa v ťahoch. V každom ťahu si hráč vyberie výbušninu istej sily (z každého druhu majú dostatočne veľa kusov) a vyhodí ňou do povetria aspoň $1$ a najviac $5$ meštianskych domov (podľa sily trhaviny). Hra sa končí po vopred dohodnutom počte ťahov. Dieter vyhrá, ak je počet zničených domov násobkom $9$, inak vyhrá Oto. Nájdite víťaznú stratégiu pre niektorého z hráčov, ak hra končí po:

• $10$ ťahoch,
• $11$ ťahoch,
• $12$ ťahoch.

Jednej noci sa Oto chcel zabaviť s Dieterom a tým, čo mu zostalo po otcovi. Zobrali si zo zachovaného voza trhaviny a začali hrať hru. Oto začína a striedajú sa v ťahoch. V každom ťahu si hráč vyberie výbušninu istej sily (z každého druhu majú dostatočne veľa kusov) a vyhodí ňou do povetria aspoň $1$ a najviac $5$ meštianskych domov (podľa sily trhaviny). Hra sa končí po vopred dohodnutom počte ťahov. Dieter vyhrá, ak je počet zničených domov násobkom $9$, inak vyhrá Oto. Nájdite víťaznú stratégiu pre niektorého z hráčov, ak hra končí po:

• $10$ ťahoch,
• $11$ ťahoch,
• $12$ ťahoch.

V háji rastie mnoho stromov a iných rastlín, ktoré pokrývajú štvorec $TRAP$. Na uhlopriečke $AT$ sa nachádza bod $S$, ktorý nie je totožný s bodom $A$, $T$, ani so stredom uhlopriečky $AT$. Ortocentrum (priesečník výšok) trojuholníka $STR$ označme $L$ a trojuholníka $RAS$ ako $N$. Dokážte, že altán $ALTN$ je kosoštvorec.

V háji rastie mnoho stromov a iných rastlín, ktoré pokrývajú štvorec $TRAP$. Na uhlopriečke $AT$ sa nachádza bod $S$, ktorý nie je totožný s bodom $A$, $T$, ani so stredom uhlopriečky $AT$. Ortocentrum (priesečník výšok) trojuholníka $STR$ označme $L$ a trojuholníka $RAS$ ako $N$. Dokážte, že altán $ALTN$ je kosoštvorec.