Zadania seminára Matik, 36. ročník - Letný semester


Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Nefertiti stratila účtovnú knihu a chcela zistiť, koľko peňazí minula za posledný mesiac. Nepamätala si konkrétnu sumu, ale vedela o nej povedať následovné:
  • suma bolo kladné celé číslo deliteľné $8$
  • ciferný súčet sumy bol $7$
  • ciferný súčin sumy bol $6$
Nájdite všetky možné sumy peňazí, ktoré mohla Nefertiti minúť za posledný mesiac a ukážte, že ďalšie neexistujú.
2. Nefertiti si kúpila obraz, ktorého rám bol trojuholník zložený z paličiek. Paličky mali dĺžky $a,b,c$, pričom $a < b < c$. Následne každú z paličiek rozdelila na polovicu, čím jej vzniklo 6 kratších paličiek. Z týchto kratších paličiek chce vybrať 3, ktoré budú tvoriť strany nového trojuholníka. Koľko najmenej a koľko najviac navzájom rôznych trojuholníkov môže vedieť z týchto 6 paličiek poskladať? (Paličky rovnakej dĺžky považujeme za identické.) Nezabudnite dokazáť, že menej alebo viac rôznych trojuholníkov nemôže vedieť poskladať.
3. Veštica Hatsuk mala víziu. Nebola si istá, či je pravdivá, a preto si ju chcela overiť. Vo vízii videla celé kladné číslo, ktoré má práve $10$ celých kladných deliteľov, pričom tieto delitele majú navzájom rôzne posledné cifry. Existuje nejaké takéto číslo? Ak áno, nájdi všetky čísla s touto vlastnosťou. Ak nie, prečo?
4. Kupec potreboval očíslovať svojich $14$ tiav. Chcel ich očíslovať celými kladnými číslami idúcimi za sebou, kde každé z týchto čísel je deliteľné aspoň jedným z čísel $2,3,5,7,11$. Vedel ich takto očíslovať? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?
5. Strýko Tutanchamon si dal postaviť záhradu v tvare trojuholníka $KLM$, v ktorom ležia body $A$ a $B$ na stranách $KL$ a $KM$ tak, že trojuholníky $KLM$, $MLA$ a $LBM$ sú podobné. Dokážte, že ak sú priamky $LM$ a $AB$ rovnobežné, tak trojuholník $ABK$ je rovnoramenný.
6. Nefertiti a Tutanchamon si v záhrade zahrali hru. Hrali ju na šachovnici s rozmerom $m \times n$, kde $m$ aj $n$ sú kladné celé čísla. Hru začína Nefertiti a zafarbí ľubovoľné políčko. Potom vždy hráč, ktorý je na ťahu, zafarbí nejaké ešte nezafarené políčko, ktoré s posledným zafarbeným políčkom susedí stranou. Prehráva ten, kto už nevie urobiť žiaden ťah. Kto z nich má víťaznú stratégiu v závislosti od $(m,n)$? Ako táto stratégia vyzerá?

Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Astronomička Astarte pozorovala hviezdy, keď zrazu uvidela zvláštny útvar. Tvoril ho trojuholník $ABC$ taký, že veľkosť uhla pri vrchole $A$ bola $80$ stupňov. Os tohto uhla preťala stranu $BC$ v bode $D$ a dĺžka $AD$ bola 7. Aká je dĺžka strany $AC$, ak výška z bodu $C$ na stranu $AB$ zviera so stranou $CB$ 60 stupňov?
2. V hlavnom paláci sa mení podlaha. Máme sadu tromina - dlaždice sú tvorené tromi štvorčekovými dielikmi zlepenými na stranách buď do tvaru písmena L alebo do tvaru písmena I. Našim cieľom je tieto dlaždice poskladať tak, aby tvorili štvorce. Najviac koľko štvorcov s rôznymi dĺžkami strán môžeme naraz postaviť s použitím najviac $1000$ dlaždíc?
3. Stavitelia pyramídy sa rozhodli podpísať sa do hrobky svojimi obľúbenými číslami. Prvý staviteľ napísal žltou kriedou prirodzené trojciferné číslo tvorené navzájom rôznymi nenulovými ciframi. Potom druhý staviteľ na hrobku bielou kriedou vypísal všetky ďalšie trojciferné čísla, ktoré možno získať zmenou poradia cifier žltého čísla. Potom podčiarkol každé číslo, ktoré bolo menšie ako žlté číslo. Podčiarknuté čísla boli práve tri a ich aritmetický priemer bol $205$. Aritmetický priemer všetkých čísiel na hrobke bol $370$. Určite hodnotu žltého čísla.
4. Na večierok na Níle prišlo niekoľko párov, pričom pár vždy tvoril muž a žena. Hlavný bubeník spočítal, koľkými rôznymi spôsobmi mohol tancovať nejaký muž s nejakou ženou a výsledok zapísal na papyrus. Potom spočítal, koľkými spôsobmi mohli tancovať osoby rovnakého pohlavia a výsledok zapísal na papyrus. Po chvíli z večierku odišli 3 páry a hlavný bubeník postup zopakoval. Takto boli na papyruse napísane 4 čísla, pričom jedno z nich bolo 100. Aké boli zvyšné 3 čísla? Nájdite všetky možnosti a dokážte, že žiadne iné nie sú.
5. Tanečnica Olympia si dala vytetovať trojuholník $ABC$. Na strane $BC$ ležia body $D$ a $E$ tak, že $|BD| = |CE|$. Označme $M$ stred úsečky $AD$. Dokážte, že priamka $ME$ vždy prechádza ťažiskom trojuholníka $ABC$, bez ohľadu na polohu bodov $D$ a $E$.
6. Dokážte, že ak je na štvorcovom námestí so stranou dlhou $35$ kilometrov ľubovoľne umiestnených $51$ ľudí, potom možno niektorých troch spomedzi nich pokryť kruhom s polomerom 5 kilometrov.

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!