Zadania seminára Matik, 37. ročník - Letný semester


Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Artemis a Boreas vymysleli hru s kladnými celými číslami od $1$ do $n$. V hre sa striedajú v ťahoch, a to tak, že v každom ťahu si hráč vyberie jedno z ešte nevybratých čísel. Artemis, ktorá začína, vyhrá, ak bude mať na konci dve čísla, ktorých súčin je $n + 1$, inak vyhrá Boreas. Ktorý hráč má vyhrávajúcu stratégiu? (Vyhrávajúca stratégia je postup, podľa ktorého hráč vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.)
2. Aténa zoslala Pytagorovi úlohu: „Na číselnej osi sú zaznačené body \(x,\) \(2x-2\) a \(3x\) (viete, ktorý bod prislúcha ktorému číslu). Nájdi body 0 a 1.” Ako to mohol Pytagoras spraviť, keď mohol použiť iba kružidlo a pravítko bez mierky?
3. Okolo Herkula stálo v kruhu 17 príšer, z ktorých každá mala iný počet hláv z rozmedzia od 1 do 17. Dokážte, že každé takéto usporiadanie musí mať najmenej jednu skupinu troch susedných príšer, ktoré majú spolu aspoň 27 hláv.
4. Zeus sa rád pozerá na Zem cez okno. Okno má tvar štvorca, ktorého vrcholy ležia na stranách päťuholníka tak, ako na obrázku. Vrcholy päťuholníka zase ležia na stranách šesťuholníka tak, ako na obrázku. Päťuholník má všetky vnútorné uhly rovnakej veľkosti a aj šesťuholník má všetky vnútorné uhly rovnakej veľkosti. Zistite súčet uhlov \(\alpha+\beta+\gamma+\delta\).
obrazok
5. Počty bohov jednotlivých elementov sú postupne rôzne prvočísla \(l\), \(m\), \(n\), \(t\) také, že \(2\cdot l + 3\cdot m + 5\cdot n + 7\cdot t = 162\) a zároveň \(11\cdot l + 7\cdot m + 5\cdot n + 4\cdot t = 162\). Nájdite všetky možné hodnoty pre \(l\), \(m\), \(n\), \(t\). (Prvočíslo je číslo, ktoré má práve dvoch deliteľov - číslo 1 a seba samé.)
6. Dar bohom mal tvar mozaiky s rozmermi $20 \times 47$. Mozaika sa skladala z ľubovoľne otočených alebo prevrátených dielikov iónskeho, dórskeho a korintského typu nasledujúcich tvarov: Koľko najmenej dielikov dórskeho typu bolo v mozaike použitých?
obrazok

Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Héfaistos ukul meč s hrotom v tvare rovnostranného trojuholníka $ABC$. Niekam na jeho stranu $BC$ vypálil bod $D$. Obsah trojuholníka $ABD$ je trikrát väčší ako obsah trojuholníka $ACD$. Rozdiel ich obvodov je $5$ $cm$. Určte veľkosť strany $AB$.
2. Iris priradila siedmim farbám dúhy cifry \(1\) až \(9\), každú najviac raz. Prvej farbe, červenej, priradila cifru \(1\). Všimla si, že súčiny cifier prvých troch farieb, prostredných troch farieb a posledných troch farieb sa rovnajú. Zároveň si všimla, že sedemciferné číslo, ktoré očíslovanie dúhy vytvorilo, je deliteľné jedným z cifier, ktoré nepoužila. Aké cifry priradila Iris jednotlivým farbám dúhy?
3. Zvýraznená časť zadania sa zmenila 28.01.2024
Afrodita napísala na pergamen niekoľko po sebe idúcich kladných celých čísel. Ares roztrhol pergamen na dve časti tak, že:
  • na každej z nich je napísaných niekoľko (aspoň jedno) po sebe idúcich kladných celých čísel,
  • na jednej časti je o jedno číslo viac ako na druhej,
  • súčty čísel na oboch častiach sa rovnajú.
Dokážte, že najmenšie z čísel, ktoré Afrodita napísala, je druhou mocninou kladného celého čísla (tzn. vieme ho napísať ako súčin kladného celého čísla so samým sebou).
4. Héra dookola vypĺňala tabuľku $5 \times 4$ tak, že v každej $2 \times 2$ podtabuľke sa nachádzalo každé z jej štyroch obľúbených čísel. Takto dostala niekoľko rôznych vyplnení celej tabuľky $5 \times 4$. Poseidon si po každom vyplnení zapísal súčet všetkých čísel vo vyplnenej tabuľke. Koľko najviac rôznych súčtov mohol mať Poseidon zapísaných?
5. Nebeská záhrada má tvar štvoruholníka $ABCD$, v ktorom platí, že uhol $ACB$ má $90^\circ$, uhol $BAC$ má $35^\circ$ a body $B$ a $D$ sú symetrické (osovo súmerné) podľa priamky prechádzajúcej stredom strany $AB$ a bodom $C$. Aký veľký je uhol $ADC$?
6. V trónnej sále na Olympe bolo 10 bohov. Každý z nich mal od 1 do 100 rokov (vek rátame na celé roky). Dokážte, že spomedzi týchto bohov môžeme vybrať dve neprázdne rovnako staré skupiny (nikto nebude v oboch). Vek skupiny je súčtom vekov jej členov.

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!