Zadania seminára Matik, 32. ročník - Zimný semester


1. Majme mriežku $3\times 3$, v ktorej sú rozmiestnení pravdovravci a klamári (na každom políčku práve jeden). Pravdovravci vždy hovoria pravdu a klamári vždy klamú. Každý z nich vyslovil vetu: „Na políčkach, ktoré susedia stranou s mojím políčkom, stoja práve dvaja takí, ako ja.“ Ako mohli byť rozmiestnení na mriežke? Nájdite všetky možnosti.
2. Mória, Arga a Titanika hrali kartovú vojnu pre troch hráčov v niekoľkých kolách. Pred začiatkom hry sa dohodli, koľko bodov bude pre víťaza, druhého a porazeného, pričom body budú rovnaké vo všetkých kolách a všetky body budú celé číslo. Víťazstvo malo samozrejme najvyššie skóre. Porazený získal najnižšie skóre, ale stále aspoň $1$ bod. Arga zvíťazila v druhom kole. Konečné skóre bolo: Mória získala celkovo $20$ bodov, Arga $10$ bodov a Titanika $9$ bodov. Zistite, či táto informácia jasne určuje kto vyhral prvé kolo a koľko bodov získala v poslednom kole Titanika.
3. Magický kruh je tvorený $13$ kameňmi. V $12$ kameňoch sa nachádza v každom rovnaký počet magických kryštálov a v jednom kameni je o jeden kryštál menej. Pri každom rituáli si môžeme vybrať práve $10$ kameňov, v ktorých vznikne jeden nový kryštál. Ukážte, že vieme vyberať kamene tak, aby sme na konci dostali $13$ kameňov s rovnakým počtom kryštálov. Čo ak by kameňov bolo $14$ a v jednom by bol o jeden kryštál menej?
4. Runa, ktorú má Harold analyzovať je taký konvexný štvoruholník, čiže každý jeho uhol je menší ako $180^\circ$, že každá z uhlopriečok ho delí na dva trojuholníky rovnakého obsahu. Dokážte, že táto runa je rovnobežník.
5. V tejto dimenzii sa nachádza niekoľko miest, o ktorých platí:
  • Z každého mesta vychádzajú práve $3$ cesty, z toho každá končí v inom meste, teda medzi dvoma mestami môže byť maximálne jedna neprerušená cesta.
  • Z každého mesta sa dá pomocou ciest dostať do akéhokoľvek iného mesta.
  • V tomto systéme ciest sa nachádzajú práve dve cesty také, po ktorých zničení sa mestá rozdelia na tri samostatné systémy, z ktorých sa nedá dostať do zvyšných dvoch. Tieto dve cesty končia v štyroch rôznych destináciách, teda každé z miest môže mať pri sebe maximálne jednu zničenú cestu.
Koľko najmenej miest môže v tejto dimenzii existovať? Nezabudnite načrtnúť, ako by mohli byť pospájané.
6. Starček mal $100$ kartičiek s číslami od $1$ do $100$ (na každej kartičke iné číslo). Všetky mu však popadali a našiel len $21$ z nich. Starček chce vybrať $4$ kartičky a umiestniť ich do rovnosti $\ +\ =\ +\ $ . Bude mať dosť kartičiek na splnenie tejto úlohy, bez ohľadu na to, akých $21$ kartičiek mu ostalo k dispozícii?

1. Mláčka mala tvar rovnoramenného trojuholníka $ABC$ so základňou $AB$ a obsahom $12$. Bod $D$ sa nachádza v opačnej polrovine určenej priamkou $AB$ ako bod $C$, pričom trojuholník $DBA$ je podobný s trojuholníkom $ABC$. Výška trojuholníka $ABC$ z bodu $C$ pretína priamku $BD$ v bode $X$. Aký je obsah trojuholníka $XBC$?
2. Počas sto dní každý zo šiestich koní jedol práve $75$ dní. Počas $n$ dní jedlo vždy aspoň $5$ koní. Aká je najvyššia a najnižšia možná hodnota $n$?
3. Na oslave sú dievčatá a chlapci. Každý z $21$ chlapcov na oslave pozná práve $4$ dievčatá a každé dievča pozná práve $14$ chlapcov (známosti sú obojstranné). Dokážte, že ľubovoľní dvaja chlapci poznajú aspoň dve rovnaké dievčatá.
4. Majme $5$ prirodzených čísel väčších ako $1$ a neprevyšujúcich $120$, o ktorých vieme, že nie sú prvočísla. Dokážte, že vždy vieme vybrať dve z nich, ktorých najväčší spoločný deliteľ je väčší ako $1$.
5. Zaujímavý útvar vyzeral nasledovne: Vo štvorci $ABCD$ je stred strany $AB$ označený ako $M$. Priamka kolmá na priamku $MC$ prechádzajúca bodom $M$ pretína stranu $AD$ v bode $K$. Ukážte, že veľkosti uhlov $BCM$ a $KCM$ sú rovnaké.
6. Koľko najmenej strelcov musíme umiestniť na šachovnicu $8\times8$ tak, aby každé políčko bolo ohrozené?

Aktuality

Zimná séria je tu!
Leto už skončilo a my sme si pre vás preto pripravili novučičký časopis so super príkladmi.
(11. september 2018)

Toto je koniec!
Nezúfajte, končí sa iba jeden zo semestrov nášho i vášho seminára. Nezabudnite sa mrknúť na poradie, prečítať časopis a pozorne si prezrieť svoje opravené riešenia!
(23. máj 2018)

Jarný výlet
Jarný výlet sa po veľkých očakávaniach koná! Viac menej úderných informácii dá sa nájsť v príspevku.
(09. máj 2018)

Nové tričká STROMu
Nové tričká nášho združenia už čoskoro! V príspevku na hlavnej stránke nájdete odkaz na anketu, kde môžete zahlasovať za farby nových tričiek. Kúpou trička môžete podporiť naše aktivity.
(10. apríl 2018)

Sme tu zas!
Sústredká sú už za nami, no nový semester začína! Preto neváhaj a rýchlo mrkni na príklady a nový časopis.
(28. február 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.