Zadania seminára Matik, 31. ročník - Letný semester


1. Máme $2$ krabice. V každej je $10$ balíčkov korenín. Každý balíček môže obsahovať červené, zelené alebo žlté korenie, ale vždy jednofarebné. V jednej krabici je aspoň $7$ balíčkov žltého korenia a v druhej aspoň $4$ balíčky červeného. Dokopy je dvakrát viac žltých ako zelených balíčkov. Ukážte, že počet červených balíčkov sa rovná buď počtu žltých, alebo zelených balíčkov.
2. Okolo okrúhleho stola sedelo desať zamestnancov. Poznáme z nich pána Kotletkina, ktorý mal $26$ rokov a pána Čajíkovského, ktorý mal $33$. Zaujímalo by ma, či môže byť vek každého zamestnanca sediaceho okolo stola aritmetickým priemerom vekov dvoch kolegov sediacich priamo po jeho ľavici a po pravici. Ak môže, tak nájdite príklad, ako by mohli sedieť zamestnanci okolo stola a napíšte ich veky. Ak nemôže, tak odôvodnite prečo. Veky zamestnancov sú celé čísla.
3. Reštaurácia mala tvar trojuholníka. Určte obsahy reštauračnej časti, štvoruholník $ADEC$, a kuchyne, trojuholník $DBE$, ak obsah trojuholníka $ABC$ je $42$ a $|AD|:|DB|=5:1$ a $|BE|:|EC|=4:3$

uloha3
4. Na obrázku je stôl tvaru štvorca, ktorého vrcholy sa dotýkajú strán pravidelného päťuholníka. Na štvorcovom stole je položený trojuholníkový obrus tak, že vrcholy tohto rovnostranného trojuholníka sa dotýkajú strán stola. Zistite hodnotu súčtu vyznačených uhlov $a+b+c+d$. Žiaden z uhlov však nemerajte, keďže rysovanie nie je presné, ale súčet uhlov na ktorý sa pýtame vypočítajte.

uloha4
5. Do taniera s mriežkou $4\times 4$ chceme podávať niekoľko kusov koláčov. Vieme, že v noci príde pán Oven a zje koláče v dvoch riadkoch a dvoch stĺpcoch. Koľko najmenej koláčov musíme podávať na tanier, aby po nočnom nájazde pána Ovena ostal ráno aspoň jeden kus koláča na tanieri pre pani Ovenovú?
6. Majme sedem celých čísel takých, že súčet ľubovoľných šiestich z nich je deliteľný piatimi. Dokážte, že potom každé z čísel musí byť deliteľné piatimi.

1. Daný je rovnoramenný trojuholník $ABC$ so základňou $AB$ dĺžky $12$ cm a výškou o polovicu menšou. Body $K$, $L$ ležia v tretine strán $AC$ a $BC$ bližšie k vrcholom $A$ a $B$. Vypočítajte obsah obdĺžnika $GFLK$, ak $F$, $G$ ležia na strane $AB$.
2. Obrazy sú označené číslami $1, 2, \dotsc, 25$ a sú rozmiestnené do piatich riadkov a piatich stĺpcov štvorcovej mriežky $5\times 5$. Uvažujme súčty čísel v každom riadku a každom stĺpci. Medzi týmito desiatimi hodnotami sú párne čísla (párne súčty) a nepárne čísla (nepárne súčty). Označme $p$ súčet všetkých párnych súčtov a $n$ súčet všetkých nepárnych súčtov. Môžu byť čísla $1, 2, \dotsc, 25$ rozmiestnené do mriežky tak, aby platilo $p=n$?
3. Hra vyzerala nasledovne: Guličky usporiadali do troch skupín o počte $11$, $12$ a $13$. Bet a Moc mali za úlohu ich všetky postupne zobrať a hrali hru na ťahy. Ťah vyzeral tak, že ten, kto bol na rade, musel zobrať dve guličky, každú z inej skupiny. Kto nemohol zahrať takto predpísaný ťah, prehral. Nájdite výhernú stratégiu pre niektorého z hráčov. (Výhernou stratégiou rozumieme návod, ako má hráč hrať, aby vždy vyhral, nech ten druhý hrá akokoľvek.)
4. Babka Eva Rosina a jej vnuk Moc majú narodeniny v rovnaký deň. Pri šiestich posebe idúcich oslavách narodenín bol babkin vek vždy deliteľný vekom Moca. Koľké narodeniny oslavovala babka na poslednej z týchto šiestich osláv? Babka nemá viac ako $100$ rokov a veky sú celé čísla. Nezabudnite nájsť všetky možnosti a odôvodniť, že iné neexistujú.
5. Na papieriku stálo: usporiadaný rad čísel obsahuje čísla $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ v nejakom poradí. Každé číslo tohto radu, okrem prvého, delí súčet všetkých predchádzajúcich čísel znížený o $1$. Ktoré čísla môžu byť posledné v rade, ak je prvým číslom sedmička?
6. Štvorec $ABCD$ má veľkosť strany $6$ cm. Stredy strán $AB$ a $AD$ označme ako body $E$ a $F$. Úsečky $CF$ a $DE$ rozdelia štvorec na štyri útvary. Vypočítajte obsahy týchto útvarov.

Aktuality

Jarný výlet
Jarný výlet sa po veľkých očakávaniach koná! Viac menej úderných informácii dá sa nájsť v príspevku.
(09. máj 2018)

Nové tričká STROMu
Nové tričká nášho združenia už čoskoro! V príspevku na hlavnej stránke nájdete odkaz na anketu, kde môžete zahlasovať za farby nových tričiek. Kúpou trička môžete podporiť naše aktivity.
(10. apríl 2018)

Sme tu zas!
Sústredká sú už za nami, no nový semester začína! Preto neváhaj a rýchlo mrkni na príklady a nový časopis.
(28. február 2018)

Pozývame!
Ahojte, pred nami je sústredenie, nezabudnite preto vyplniť dotazník, ktorý nájdete v e-maile. Tešíme sa na vás.
(11. január 2018)

Lomihlav 2017
1.12.2017 sa v Kultúrno-spoločenskom centre na Jedlíkovej 7 v Košiciach uskutočni už sedemnásty ročník Lomihlavu. Podrobnejšie informácie a zoznam prihlásených tímov nájdete v sekcii Lomihlav.
(23. november 2017)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.