fergusta $19XX$
Konečne som si našiel posádku a počas toho, ako sme čakali pri Úrade dobrodružstiev na zapísanie svojej výpravy vedľa nás stál zaujímavý rad deviatich chlapov. Stáli za sebou a všetci sa dohodli na trojcifernom kóde. Niektorí z nich sú klamári, ostatní hovoria pravdu. Prvého som počul povedať: „Kód obsahuje číslicu $1$. Ten za mnou klame.“ $7$ chlapov za ním povedalo: „Kód je deliteľný mojim poradovým číslom v tomto rade. Ten za mnou klame.“ Posledný povedal: „Kód je deliteľný $9$.“ Aký je teda kód?

fergusta $19XX$
Konečne som si našiel posádku a počas toho, ako sme čakali pri Úrade dobrodružstiev na zapísanie svojej výpravy vedľa nás stál zaujímavý rad deviatich chlapov. Stáli za sebou a všetci sa dohodli na trojcifernom kóde. Niektorí z nich sú klamári, ostatní hovoria pravdu. Prvého som počul povedať: „Kód obsahuje číslicu $1$. Ten za mnou klame.“ $7$ chlapov za ním povedalo: „Kód je deliteľný mojim poradovým číslom v tomto rade. Ten za mnou klame.“ Posledný povedal: „Kód je deliteľný $9$.“ Aký je teda kód?

fergusta $19XX$
Spoločne s mojou novou posádkou sme si išli kúpiť ponorku. Na výber bolo niekoľko ponoriek, ale jedna konkrétna nám padla do oka. Obal jej tryskového pohonu bol v tvare trojuholníka $ABC$. V obale sa nachádzala samotná tryska v podobe štvorca $KLMN$ vpísaného do trojuholníka $ABC$ tak, že úsečka $KL$ leží na strane $AB$, bod $M$ leží na strane $BC$ a bod $N$ leží na strane $AC$. Ďalej vieme, že veľkosť uhla $BML$ je rovná veľkosti uhla $KAN$. Ak poznáme dĺžky$|CM|=4$, $|CN|=2$, $|AN|=5$, aký je obsah trojuholníka $ABC$?

fergusta $19XX$
Spoločne s mojou novou posádkou sme si išli kúpiť ponorku. Na výber bolo niekoľko ponoriek, ale jedna konkrétna nám padla do oka. Obal jej tryskového pohonu bol v tvare trojuholníka $ABC$. V obale sa nachádzala samotná tryska v podobe štvorca $KLMN$ vpísaného do trojuholníka $ABC$ tak, že úsečka $KL$ leží na strane $AB$, bod $M$ leží na strane $BC$ a bod $N$ leží na strane $AC$. Ďalej vieme, že veľkosť uhla $BML$ je rovná veľkosti uhla $KAN$. Ak poznáme dĺžky$|CM|=4$, $|CN|=2$, $|AN|=5$, aký je obsah trojuholníka $ABC$?

fergusta $19XX$
Prezerali sme si našu novú ponorku. Jej ovládací panel má na sebe napísaných deväť čísel do tvaru kružnice, pričom všetky z nich boli $0$ alebo $1$. Keď sme sa naňho prvýkrát pozreli, nachádzala sa tam aspoň jedna $0$ a aspoň jedna $1$. Každú hodinu sa udialo nasledovné: medzi všetkými susednými dvojicami rovnakých čísel sa objavila $1$ a medzi všetkými susednými dvojicami rôznych čísel sa objavila $0$. Zároveň sa predošlých deväť čísel zmazalo. Vie sa opakovaním tohoto procesu niekedy na ovládacom paneli objaviť deväť jednotiek naraz? Ak áno, uveďte možné počiatočné rozloženie, ak nie, dokážte, prečo sa to nedá.

fergusta $19XX$
Prezerali sme si našu novú ponorku. Jej ovládací panel má na sebe napísaných deväť čísel do tvaru kružnice, pričom všetky z nich boli $0$ alebo $1$. Keď sme sa naňho prvýkrát pozreli, nachádzala sa tam aspoň jedna $0$ a aspoň jedna $1$. Každú hodinu sa udialo nasledovné: medzi všetkými susednými dvojicami rovnakých čísel sa objavila $1$ a medzi všetkými susednými dvojicami rôznych čísel sa objavila $0$. Zároveň sa predošlých deväť čísel zmazalo. Vie sa opakovaním tohoto procesu niekedy na ovládacom paneli objaviť deväť jednotiek naraz? Ak áno, uveďte možné počiatočné rozloženie, ak nie, dokážte, prečo sa to nedá.

fergusta $19XX$
Našej navigátorke Mirke sa stratili súradnice cieľa tejto výpravy. Samozrejme, potrebovali sme ho predtým, než sa vydáme na cestu. Našťastie si Mirka pamätala svoje výpočty, ktorými sa k týmto súradniciam dostala. Tieto výpočty som predal svojej posádke so slovami:
Nájdite všetky čísla v tvare $\overline{abcd}$, pre ktoré platí: $\overline{ab} \cdot 53+\overline{cd} \cdot 18=\overline{abcd} $

(Číslo $\overline{xyz}$ je trojciferné číslo s cifrou $x$ na mieste stovák, cifrou $y$ na mieste desiatok a cifrou $z$ na mieste jednotiek)

fergusta $19XX$
Našej navigátorke Mirke sa stratili súradnice cieľa tejto výpravy. Samozrejme, potrebovali sme ho predtým, než sa vydáme na cestu. Našťastie si Mirka pamätala svoje výpočty, ktorými sa k týmto súradniciam dostala. Tieto výpočty som predal svojej posádke so slovami:
Nájdite všetky čísla v tvare $\overline{abcd}$, pre ktoré platí: $\overline{ab} \cdot 53+\overline{cd} \cdot 18=\overline{abcd} $

(Číslo $\overline{xyz}$ je trojciferné číslo s cifrou $x$ na mieste stovák, cifrou $y$ na mieste desiatok a cifrou $z$ na mieste jednotiek)

fergusta $19XX$
Pred výpravou sme potrebovali vykonať údržbu, ale miestny mechanik by si za to pýtal príliš veľa. Preto sme poprosili náhodného človeka na ulici, nech to urobí. Jeho návrhy na opravy sa nám ale zdali čudné, tak sme sa na nich rozhodli pre istotu pozrieť. Snažil sa nájsť $3$ za sebou idúce prirodzené čísla, z ktorých jedno malo troch deliteľov, druhé štyroch a tretie päť deliteľov (v ľubovoľnom poradí). Existujú vôbec takéto čísla? Ak áno, nájdite všetky takéto trojice, ak nie, tak ukážte prečo.

fergusta $19XX$
Pred výpravou sme potrebovali vykonať údržbu, ale miestny mechanik by si za to pýtal príliš veľa. Preto sme poprosili náhodného človeka na ulici, nech to urobí. Jeho návrhy na opravy sa nám ale zdali čudné, tak sme sa na nich rozhodli pre istotu pozrieť. Snažil sa nájsť $3$ za sebou idúce prirodzené čísla, z ktorých jedno malo troch deliteľov, druhé štyroch a tretie päť deliteľov (v ľubovoľnom poradí). Existujú vôbec takéto čísla? Ak áno, nájdite všetky takéto trojice, ak nie, tak ukážte prečo.

fergusta $19XX$
Rozhodli sme sa ponorku opraviť sami. Bude to trvať pár týždňov. Najťažšia časť opráv bude výmena zadného ochranného plechu. Na to, aby sme ho vedeli vyrezať, potrebujeme vedieť jeden z jeho uhlov. Plech, ktorý budeme vyrezávať, má tvar štvoruholníka $ABCD$, ktorého strany $AB$ a $CD$ sú rovnobežné a majú v súčte rovnakú dĺžku ako strana $AD$. Označme $E$ stred strany $BC$. Aký veľký je uhol $AED$?

fergusta $19XX$
Rozhodli sme sa ponorku opraviť sami. Bude to trvať pár týždňov. Najťažšia časť opráv bude výmena zadného ochranného plechu. Na to, aby sme ho vedeli vyrezať, potrebujeme vedieť jeden z jeho uhlov. Plech, ktorý budeme vyrezávať, má tvar štvoruholníka $ABCD$, ktorého strany $AB$ a $CD$ sú rovnobežné a majú v súčte rovnakú dĺžku ako strana $AD$. Označme $E$ stred strany $BC$. Aký veľký je uhol $AED$?

aptembra $19XX$
Nalodili sme sa do ponorky. Jaj, konečne vietor v plachtách! I keď vlastne plachty nemáme, lebo sme v ponorke. Ale keby sme ich mali, boli by tvaru rovnoramenného lichobežníka $ABCD$ so základňami $AB$ a $CD$, v ktorom by platilo, že $|AB| > |CD|$. Na strane $CD$ by ležal bod $E$ tak, že trojuholník $ACE$ by bol rovnoramenný so základňou $AC$ a $AED$ by bol rovnoramenný so základňou $AE$. Trojuholník $ABC$ by bol tiež rovnoramenný, so základňou $BC$. No počkať, ale potom aký veľký by bol uhol $CAE$?

aptembra $19XX$
Nalodili sme sa do ponorky. Jaj, konečne vietor v plachtách! I keď vlastne plachty nemáme, lebo sme v ponorke. Ale keby sme ich mali, boli by tvaru rovnoramenného lichobežníka $ABCD$ so základňami $AB$ a $CD$, v ktorom by platilo, že $|AB| > |CD|$. Na strane $CD$ by ležal bod $E$ tak, že trojuholník $ACE$ by bol rovnoramenný so základňou $AC$ a $AED$ by bol rovnoramenný so základňou $AE$. Trojuholník $ABC$ by bol tiež rovnoramenný, so základňou $BC$. No počkať, ale potom aký veľký by bol uhol $CAE$?

aptembra $19XX$
Náš palubný kartograf Peťo sa trocha zamotal. Pamätal si pár informácií, no nie presné číslo priamych ciest vedúcich medzi naším mestom a Atlantídou, naším mestom a dokmi a medzi Atlantídou a dokmi. Vedel ale, že z nášho mesta sa do dokov vieme dostať $11$ rôznymi spôsobmi vrátane tých cez Atlantídu a do Atlantídy $13$ rôznymi spôsobmi vrátane tých cez doky. Zároveň vedel, že medzi každou dvojicou miest vedie aspoň jedna priama cesta. Koľko existuje priamych ciest medzi jednotlivými miestami? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo iné neexistujú.

aptembra $19XX$
Náš palubný kartograf Peťo sa trocha zamotal. Pamätal si pár informácií, no nie presné číslo priamych ciest vedúcich medzi naším mestom a Atlantídou, naším mestom a dokmi a medzi Atlantídou a dokmi. Vedel ale, že z nášho mesta sa do dokov vieme dostať $11$ rôznymi spôsobmi vrátane tých cez Atlantídu a do Atlantídy $13$ rôznymi spôsobmi vrátane tých cez doky. Zároveň vedel, že medzi každou dvojicou miest vedie aspoň jedna priama cesta. Koľko existuje priamych ciest medzi jednotlivými miestami? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo iné neexistujú.

aptembra $19XX$
Heuréka! Veže bájnej Atlantídy sa mi týčia v zornom poli. "Vitajte! Ja som morský Vilo," privítal nás muž so žiabrami namiesto uší, keď sme vystúpili z ponorky. Pozval nás na partiu tzv. atlantického pokra, ktorý hrá $2023$ hráčov usadených v kruhu. V hre sa nachádza $4046$ hracích kariet, z každej hodnoty od $1$ do $2023$ práve dva kusy. Každý hráč začína s dvomi kartami rôznych hodnôt. V každom ťahu vyberie každý hráč nižšiu z dvoch kariet, čo má na ruke a pošle ju hráčovi po pravej ruke. Dokážte, že po niekoľkých ťahoch tejto hry nastane, že aspoň jeden z hráčov bude mať v ruke dve karty rovnakej hodnoty.

aptembra $19XX$
Heuréka! Veže bájnej Atlantídy sa mi týčia v zornom poli. "Vitajte! Ja som morský Vilo," privítal nás muž so žiabrami namiesto uší, keď sme vystúpili z ponorky. Pozval nás na partiu tzv. atlantického pokra, ktorý hrá $2023$ hráčov usadených v kruhu. V hre sa nachádza $4046$ hracích kariet, z každej hodnoty od $1$ do $2023$ práve dva kusy. Každý hráč začína s dvomi kartami rôznych hodnôt. V každom ťahu vyberie každý hráč nižšiu z dvoch kariet, čo má na ruke a pošle ju hráčovi po pravej ruke. Dokážte, že po niekoľkých ťahoch tejto hry nastane, že aspoň jeden z hráčov bude mať v ruke dve karty rovnakej hodnoty.

aptembra $19XX$
Miestni obyvatelia nám chceli ukázať, že sú múdrejší než my, tak si vytvorili test, z ktorého sa dalo získať $0$ až $15$ bodov. Spolu sa ho napokon podrobilo $9000$ ľudí. Nastal ale istý... incident. Po bezpečnostnej kontrole sa záznamy z testu zmenili. Všetky záznamy, ktoré obsahovali skóre $1, 2$ alebo $3$ sa zmenili na skóre $0$. Všetky záznamy, ktoré obsahovali skóre $12, 13$ alebo $14$ sa zmenili na skóre $15$. Hodnotiaca komisia si incident všimla kvôli tomu, že priemerné skóre kleslo presne o desatinu bodu. Predseda komisie tvrdil, že pôvodne existovali dve rôzne hodnoty skóre, pre ktoré platí, že počty ľudí s danými skóre sa líšia aspoň o $150$. Má pravdu?

aptembra $19XX$
Miestni obyvatelia nám chceli ukázať, že sú múdrejší než my, tak si vytvorili test, z ktorého sa dalo získať $0$ až $15$ bodov. Spolu sa ho napokon podrobilo $9000$ ľudí. Nastal ale istý... incident. Po bezpečnostnej kontrole sa záznamy z testu zmenili. Všetky záznamy, ktoré obsahovali skóre $1, 2$ alebo $3$ sa zmenili na skóre $0$. Všetky záznamy, ktoré obsahovali skóre $12, 13$ alebo $14$ sa zmenili na skóre $15$. Hodnotiaca komisia si incident všimla kvôli tomu, že priemerné skóre kleslo presne o desatinu bodu. Predseda komisie tvrdil, že pôvodne existovali dve rôzne hodnoty skóre, pre ktoré platí, že počty ľudí s danými skóre sa líšia aspoň o $150$. Má pravdu?

aptembra $19XX$
Dnes sme boli pozvaní na audienciu k starostovi Atlantídy. Erb Atlantídy má tvar lichobežníka $ABCD$ pričom platí, že $AB$ je rovnobežná s $CD$ a $|AB| = 2\cdot|CD|$. Daný je bod $P$ v strede strany $AB$ a bod $Q$ na strane $BC$. Obsah trojuholníka $PBQ$ je 3 a obsah celého lichobežníka je 18. Nech $R$ je priesečník úsečiek $PC$ a $QD$. Aký je obsah trojuholníka $RQC$?

aptembra $19XX$
Dnes sme boli pozvaní na audienciu k starostovi Atlantídy. Erb Atlantídy má tvar lichobežníka $ABCD$ pričom platí, že $AB$ je rovnobežná s $CD$ a $|AB| = 2\cdot|CD|$. Daný je bod $P$ v strede strany $AB$ a bod $Q$ na strane $BC$. Obsah trojuholníka $PBQ$ je 3 a obsah celého lichobežníka je 18. Nech $R$ je priesečník úsečiek $PC$ a $QD$. Aký je obsah trojuholníka $RQC$?

aptembra $19XX$
Trhové námestie Atlantídy je vydláždené čiernymi a bielymi dlaždicami tak, ako šachovnica $8 \times 8$. Na námestí bolo rozmiestnených $8$ strážcov tak, že v každom riadku a stĺpci bol iba jeden. Dokážte, že na čiernych dlaždiciach námestia je párny počet strážcov.

aptembra $19XX$
Trhové námestie Atlantídy je vydláždené čiernymi a bielymi dlaždicami tak, ako šachovnica $8 \times 8$. Na námestí bolo rozmiestnených $8$ strážcov tak, že v každom riadku a stĺpci bol iba jeden. Dokážte, že na čiernych dlaždiciach námestia je párny počet strážcov.