Majme mriežku $3\times 3$, v ktorej sú rozmiestnení pravdovravci a klamári (na každom políčku práve jeden). Pravdovravci vždy hovoria pravdu a klamári vždy klamú. Každý z nich vyslovil vetu: „Na políčkach, ktoré susedia stranou s mojím políčkom, stoja práve dvaja takí, ako ja.“ Ako mohli byť rozmiestnení na mriežke? Nájdite všetky možnosti.

Mória, Arga a Titanika hrali kartovú vojnu pre troch hráčov v niekoľkých kolách. Pred začiatkom hry sa dohodli, koľko bodov bude pre víťaza, druhého a porazeného, pričom body budú rovnaké vo všetkých kolách a všetky body budú celé číslo. Víťazstvo malo samozrejme najvyššie skóre. Porazený získal najnižšie skóre, ale stále aspoň $1$ bod. Arga zvíťazila v druhom kole. Konečné skóre bolo: Mória získala celkovo $20$ bodov, Arga $10$ bodov a Titanika $9$ bodov. Zistite, či táto informácia jasne určuje kto vyhral prvé kolo a koľko bodov získala v poslednom kole Titanika.

Magický kruh je tvorený $13$ kameňmi. V $12$ kameňoch sa nachádza v každom rovnaký počet magických kryštálov a v jednom kameni je o jeden kryštál menej. Pri každom rituáli si môžeme vybrať práve $10$ kameňov, v ktorých vznikne jeden nový kryštál. Ukážte, že vieme vyberať kamene tak, aby sme na konci dostali $13$ kameňov s rovnakým počtom kryštálov. Čo ak by kameňov bolo $14$ a v jednom by bol o jeden kryštál menej?

Runa, ktorú má Harold analyzovať je taký konvexný štvoruholník, čiže každý jeho uhol je menší ako $180^\circ$, že každá z uhlopriečok ho delí na dva trojuholníky rovnakého obsahu. Dokážte, že táto runa je rovnobežník.

V tejto dimenzii sa nachádza niekoľko miest, o ktorých platí:

• Z každého mesta vychádzajú práve $3$ cesty, z toho každá končí v inom meste, teda medzi dvoma mestami môže byť maximálne jedna neprerušená cesta.
• Z každého mesta sa dá pomocou ciest dostať do akéhokoľvek iného mesta.
• V tomto systéme ciest sa nachádzajú práve dve cesty také, po ktorých zničení sa mestá rozdelia na tri samostatné systémy, z ktorých sa nedá dostať do zvyšných dvoch. Tieto dve cesty končia v štyroch rôznych destináciách, teda každé z miest môže mať pri sebe maximálne jednu zničenú cestu.

Starček mal $100$ kartičiek s číslami od $1$ do $100$ (na každej kartičke iné číslo). Všetky mu však popadali a našiel len $21$ z nich. Starček chce vybrať $4$ kartičky a umiestniť ich do rovnosti $\ +\ =\ +\ $ . Bude mať dosť kartičiek na splnenie tejto úlohy, bez ohľadu na to, akých $21$ kartičiek mu ostalo k dispozícii?

Mláčka mala tvar rovnoramenného trojuholníka $ABC$ so základňou $AB$ a obsahom $12$. Bod $D$ sa nachádza v opačnej polrovine určenej priamkou $AB$ ako bod $C$, pričom trojuholník $DBA$ je podobný s trojuholníkom $ABC$. Výška trojuholníka $ABC$ z bodu $C$ pretína priamku $BD$ v bode $X$. Aký je obsah trojuholníka $XBC$?

Mláčka mala tvar rovnoramenného trojuholníka $ABC$ so základňou $AB$ a obsahom $12$. Bod $D$ sa nachádza v opačnej polrovine určenej priamkou $AB$ ako bod $C$, pričom trojuholník $DBA$ je podobný s trojuholníkom $ABC$. Výška trojuholníka $ABC$ z bodu $C$ pretína priamku $BD$ v bode $X$. Aký je obsah trojuholníka $XBC$?

Počas sto dní každý zo šiestich koní jedol práve $75$ dní. Počas $n$ dní jedlo vždy aspoň $5$ koní. Aká je najvyššia a najnižšia možná hodnota $n$?

Počas sto dní každý zo šiestich koní jedol práve $75$ dní. Počas $n$ dní jedlo vždy aspoň $5$ koní. Aká je najvyššia a najnižšia možná hodnota $n$?

Na oslave sú dievčatá a chlapci. Každý z $21$ chlapcov na oslave pozná práve $4$ dievčatá a každé dievča pozná práve $14$ chlapcov (známosti sú obojstranné). Dokážte, že ľubovoľní dvaja chlapci poznajú aspoň dve rovnaké dievčatá.

Na oslave sú dievčatá a chlapci. Každý z $21$ chlapcov na oslave pozná práve $4$ dievčatá a každé dievča pozná práve $14$ chlapcov (známosti sú obojstranné). Dokážte, že ľubovoľní dvaja chlapci poznajú aspoň dve rovnaké dievčatá.

Majme $5$ prirodzených čísel väčších ako $1$ a neprevyšujúcich $120$, o ktorých vieme, že nie sú prvočísla. Dokážte, že vždy vieme vybrať dve z nich, ktorých najväčší spoločný deliteľ je väčší ako $1$.

Majme $5$ prirodzených čísel väčších ako $1$ a neprevyšujúcich $120$, o ktorých vieme, že nie sú prvočísla. Dokážte, že vždy vieme vybrať dve z nich, ktorých najväčší spoločný deliteľ je väčší ako $1$.

Zaujímavý útvar vyzeral nasledovne: Vo štvorci $ABCD$ je stred strany $AB$ označený ako $M$. Priamka kolmá na priamku $MC$ prechádzajúca bodom $M$ pretína stranu $AD$ v bode $K$. Ukážte, že veľkosti uhlov $BCM$ a $KCM$ sú rovnaké.

Zaujímavý útvar vyzeral nasledovne: Vo štvorci $ABCD$ je stred strany $AB$ označený ako $M$. Priamka kolmá na priamku $MC$ prechádzajúca bodom $M$ pretína stranu $AD$ v bode $K$. Ukážte, že veľkosti uhlov $BCM$ a $KCM$ sú rovnaké.

Koľko najmenej strelcov musíme umiestniť na šachovnicu $8\times8$ tak, aby každé políčko bolo ohrozené?

Koľko najmenej strelcov musíme umiestniť na šachovnicu $8\times8$ tak, aby každé políčko bolo ohrozené?