Zadania seminára Matik, 29. ročník - Zimný semester


1. Na ostrove žijú klamári, poctivci a normálni ľudia. Klamári vždy klamú, poctivci vravia vždy pravdu a normálni ľudia niekedy vravia pravdu a niekedy klamú. Uzavrieť manželstvo môžu len dvaja normálni ľudia alebo klamár a poctivec. Ľudia z manželských párov A a B o sebe povedali:
Pán A: Pán B je poctivec.
Pani A: Manžel má pravdu, pán B je poctivec.
Pani B: Naozaj, môj muž je poctivec.
Určte, čo je každý z nich.
2. Počet pichliačov, čo Jožkovi narástli, je prirodzené číslo menšie ako $50$ $000$.
Prvý okoloidúci prehlásil, že to číslo je deliteľné dvomi.
Druhý, že to číslo je deliteľné tromi.
Takto to pokračovalo, až dvanásty okoloidúci prehlásil, že to číslo je deliteľné trinástimi. Všetky tieto tvrdenia, okrem dvoch okoloidúcich, čo hovorili za sebou, boli pravdivé. Koľko pichliačov Jožkovi narástlo?
3. Číňan si našiel lukratívnu prácu, kde ho vyplatia za každý deň sumou rovnou počtu dní, koľko v práci pracuje. Teda prvý deň dostane $1$, druhý deň $2$, tretí deň $3$ peniaze... Keďže je dobrá duša a vie, že to je lukratívna ponuka, tak sa rozhodol, že si spraví denníček, kde si stále zapíše počet peňazí, ktoré zarobil, a bude ich aj každý deň sčítavať (vyzerá to asi takto - deň $1$: $1=1$, deň $2$: $1+2=3$, deň $3$: $3+3=6$, deň $4$: $6+4=10$...).
Navyše, stále, keď suma, ktorú dovtedy (vrátane toho dňa) zarobil, bude deliteľná $3$, tak daruje charite časť zárobkov. A to tak, že keď sa to stane prvýkrát, tak daruje $1$ peniaz, keď sa to stane druhýkrát, tak daruje $2$ peniaze, keď tretíkrát tak $3$ peniaze... Vypočítajte, koľko daroval charite, aké mal posledné zapísané číslo v denníčku za celkový výnos z jeho práce (z toho denníčka si neodčítava darované peniaze) a koľko má peňazí po:
a) $10$. odpracovanom dni
b) $1000$. odpracovanom dni
Riešenie zdôvodnite.
4. V ostrouhlom trojuholníku $ABC$ s uhlom $ABC$ veľkosti 68 stupňov je $V$ priesečník jeho výšok a $P$ päta výšky na stranu $BC$. Os uhla $PVC$ je rovnobežná so stranou $AC$. Vypočítajte veľkosti uhlov $ACB$ a $CAB$.
5. Máme šachovnicu $8\times8$. Do ľavého dolného rohu umiestnime figúrku. Hráč, ktorý je na ťahu, ňou môže posunúť o $1$, $2$ alebo $3$ políčka smerom hore, doprava alebo po uhlopriečke (ako strelec podľa klasických pravidiel šachu) v smere hore-doprava. Ten, kto musí potiahnuť do pravého horného rohu, prehráva. Pre ktorého hráča existuje vyhrávajúca stratégia? Nájdite ju a vysvetlite, prečo vždy funguje.
6. Vzor na oku vyzeral ako na obrázku, v mieste niektorých spojov bol farebný krúžok. Všetky krúžky, ktoré sa na vzore nachádzali, sú vyznačené na obrázku. Krúžky boli rôznych farieb, susedné (to sú tie, ktoré sú na obrázku spojené úsečkou) neboli nikdy rovnakej farby. Zisti, najmenej koľko farieb treba použiť, aby žiadne dva susedné krúžky nemali rovnakú farbu.
uloha6

1. Potrebujem napojiť $6$ rôznych korytnačiek. Jednotlivé korytnačky sú rôznej veľkosti, a preto potrebujú tieto dávky vody: $1$ dl, $2$ dl, $3$ dl, $4$ dl, $5$ dl, $6$ dl. Mám doma $21$ dl vody vo veľkej nádobe a dve odmerky, jednu na $5$ dl, druhú na $12$ dl. Ako pomocou odmeriek môžem rozdeliť korytnačkám potrebné množstvo vody?
2. Päť korytnačiek ($1$, $2$, $3$, $4$ a $5$) čaká na svoj ortieľ. Budú sa totiž variť v práve dvoch várkach. Rozhodnutie bolo nasledovné:
A) aspoň jedna z korytnačiek $1$ a $3$ sa bude variť v druhej várke,
B) korytnačky $2$ a $5$ sa budú variť v rôznych várkach,
C) korytnačky $2$ a $3$ sa budú variť v tej istej várke,
D) práve jedna z korytnačiek $3$ a $4$ sa bude variť v prvej várke,
E) najviac jedna z korytnačiek $1$ a $5$ sa bude variť v prvej várke.
Ako môžeme rozdeliť korytnačky do dvoch várok? Nájdite všetky možnosti.
3. Jeden hrniec mal tvar pravidelného šesťuholníka (nazvime ho $ABCDEF$) a druhý hrniec má rovnako šesťuholníkový pôdorys, no bol asi taký veľký, akoby sme stredy strán šesťuholníka $ABCDEF$ označili postupne $K$, $L$, $M$, $N$, $O$, $P$ a pospájali ich v tomto poradí. Aký je pomer obsahov šesťuholníkov $ABCDEF$ a $KLMNOP$?
4. Prirodzené čísla chcú, aby Jožko dokázal, že súčin dvoch dvojciferných prirodzených čísel nemôže byť nikdy štvorciferné číslo, ktoré má všetky štyri cifry rovnaké. Navyše má nájsť všetky dvojice prirodzených čísel, ktorých súčin je štvorciferné číslo so štyroma rovnakými ciframi. Pomôžte mu s tým.
5. Koľko prirodzených čísel $n$ menších ako $2015$ má vlastnosť, že $${1\over3} + {1\over n}$$ sa dá zjednodušiť na zlomok s menovateľom menším ako $n$? Pod pojmom zlomok v tejto úlohe rozumieme podiel dvoch prirodzených čísel.
6. Zahrajú si spolu dve partie. Gandulf nakreslil na papier najprv $9$ (na prvú partiu) a potom $10$ bodov (na druhú partiu). Jožko a Gandulf na striedačku spájajú úsečkami body (vytvárajú medzi dvoma bodmi cestu - ak sa dve cesty pretínajú, tak sa tam vytvára most, nedá sa tam meniť smer). Vyhráva hráč, po ktorého ťahu vedie od každého bodu ku každému bodu cesta (nie nutne priamo). Pre ktorého hráča (prvého alebo druhého?) a kedy existuje víťazná stratégia? Vysvetlite aká. Čo keby bolo bodov $247$?

Aktuality

Bude výlet...
...tak hlasujte v ankete o termíne výletu! Bližšie informácie už čoskoro.
(18. november 2019)

Prvá séria ukončená!
Koniec prvej série je už tu a spolu s ním aj vaše opravené úlohy a nové časopisy so vzorovými riešeniami a poradiami. Tak sa pustite do čítania, no nezabúdajte ani na druhú sériu! :)
(15. apríl 2019)

Pozrite sa..
..ako sme sa mali na sústredeniach Malynáru, Matika aj STROMu. Fotky sú už v galériách :)
(05. marec 2019)

Koniec zimného semestra
Zimný semester nám už skončil a tých najlepších z vás čaká sústredenie. Ak sa vám podarilo medzi nich prebojovať, nezabudnite vyplniť prihlášku.
(22. december 2018)

Presun termínu
Drahí riešitelia, termín druhej série zimného semestra sa presunul až na 26. novembra 2018, do 20:00, dúfame, že túto zmenu radi privítate! :)
(11. november 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.