Majme trojuholník $ABC$. Stredy strán $BC$, $AC$ a $AB$ sú označené postupne písmenami $D$, $E$ a $F$. Dve ťažnice $AD$ a $BE$ sú navzájom kolmé. Vieme, že $|AD| = 3$ a $|BE| = 4$. Vypočítajte dĺžku ťažnice $CF$ tohto trojuholníka.

Uvažujme polynóm $p(x)$ s celočíselnými koeficientami. Na grafe funkcie, ktorú určuje polynóm $p$, zvolíme dva body s celočíselnými súradnicami. Ukážte, že ak je vzdialenosť týchto bodov celočíselná, tak je úsečka, ktorá ich spája, rovnobežná s $x$-ovou osou.

Nájdite všetky dvojice prvočísel $(p,q)$, pre ktoré platí $p^3 - q^5 = (p + q)^2$.

Nech $ABCD$ je lichobežník so základňami $AD$ a $BC$ s uhlom veľkosti $\ang{120}$ pri vrchole $A$. Nech $E$ je stred strany $AB$. Označme $O_1$ a $O_2$ postupne stredy kružníc opísaných trojuholníkom $AED$ a $BEC$. Dokážte, že obsah lichobežníka $ABCD$ je $6$-krát väčší ako obsah trojuholníka $EO_1O_2$.

Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ také, že pre všetky celé čísla $x$, $y$ platí $$f(x-y + f(y)) = f(x)+f(y). $$

Nápoveda: Vyjadrite dvoma spôsobmi výraz $f(x+f(y))$ a potom ukážte, že platí $f(x+y)=f(x)+f(y)$.

Kubo hrá hru, v ktorej si na začiatku zapíše ľubovoľné kladné celé číslo $n$. V každom ťahu môže svoje aktuálne číslo nahradiť za nové podľa nasledujúceho pravidla: ak má zapísané číslo $a+b$, kde $a$ aj $b$ sú kladné celé čísla, potom môže toto číslo nahradiť číslom $a\cdot b$. Predpokladajme, že Kubo začína s kladným celým číslom $n \geq 5$, a majme dané kladné celé číslo $m$. Ukážte, že existuje postupnosť krokov, ktoré povedú k tomu, že Kubo bude mať zapísané číslo $m$.

Nápoveda: Je to ľahké.

Cifry prirodzeného čísla sme preusporiadali a číslo, ktoré vzniklo, sme pripočítali k pôvodnému.

1. Dokážte, že sme nemohli dostať ako výsledok číslo pozostávajúce z $999$ deviatok.
2. Dokážte, že ak nám vyšiel výsledok $10^{10}$, tak pôvodné číslo bolo deliteľné desiatimi.

Majme funkciu $f$ definovanú na nezáporných celých číslach s hodnotami v množine celých čísel spĺňajúcu:

Kladné celé číslo $n$ zafarbíme načerveno, ak ho vieme zapísať ako $n=a_1 + a_2 + ... + a_k$, kde $k$ a všetky $a_i$ sú kladné celé čísla a spĺňajú, že $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... +\frac{1}{a_k} = 1$. Ak viete, že všetky čísla od $33$ po $73$ sú zafarbené načerveno, dokážte, že aj všetky čísla väčšie ako $73$ už musia byť červené.

Do hlavičky vášho riešenia pridajte odhad času, ktorý ste strávili premýšľaním nad touto úlohou.

V rovine máme konvexný $3n-1$ uholník, kde $n\geq 2$ je kladné celé číslo. Každú úsečku medzi dvoma jeho vrcholmi zafarbíme buď namodro, alebo načerveno. Ukážte, že existuje $n$ disjunktných (nemôžu zdieľať žiaden bod) modrých alebo červených úsečiek.

Do hlavičky vášho riešenia pridajte odhad času, ktorý ste strávili premýšľaním nad touto úlohou.

Je daný pravý uhol $AMB$. Zostrojte rovnostranný trojuholník $KLM$ tak, aby vzdialenosť $K$ od priamky $MA$ bola dvakrát väčšia ako vzdialenosť $L$ od priamky $BM$. Svoju konštrukciu popíšte a zdôvodnite jej korektnosť.

Nápoveda: Vytvorte kópiu otočenú o $\SI{90}{\degree}$.

Do hlavičky vášho riešenia pridajte odhad času, ktorý ste strávili premýšľaním nad touto úlohou.

Nájdite všetky nepárne kladné celé čísla $m$, pre ktoré postupnosť $a_k$, $k=0,1,\dots$, definovaná predpisom $a_0=\frac{1}{2}(2m+1)$ a $a_{k+1}=a_k\lfloor a_k \rfloor$ pre $k \geq 0$ obsahuje aspoň jedno celé číslo.

Nápoveda: Každý neceločíselný člen postupnosti je v tvare $\frac{8l+z}{2}$, kde $z$ je 1, 3, 5 alebo 7. Všetky prípady okrem $z=3$ sú priamočiare, tam sa skúste pozrieť na najvyššiu mocninu 2, ktorá delí $l$.

Do hlavičky vášho riešenia pridajte odhad času, ktorý ste strávili premýšľaním nad touto úlohou.