Dokážte, že ak sú $a$, $b$, $c$, $d$ reálne čísla a $ac=2(b+d)$, tak má aspoň jedna z rovníc $x^2 + ax +b=0$ a $x^2+cx+d=0$ všetky korene reálne.

Majme trojuholník $ABC$, kde $AB$ je najdlhšia jeho strana. Zvoľme bod $D$ tak, aby sa nachádzal na opačnej polpriamke k $BA$, teda $B$ je medzi bodmi $A$ a $D$ a zároveň platí $|BC|=|BD|$. Dokážte, že trojuholník $ACD$ je tupouhlý.

Máme $n$ bodov v rovine. Môžeme urobiť to, že dva z nich vyberieme a následne obidva presunieme do stredu úsečky, ktorá ich spája. Body iba presúvame, žiaden z nich nezaniká. Zistite, pre ktoré $n$ je možné vždy presúvať dané body tak, aby všetky splynuli (boli v jednom bode).

Nájdite všetky polynómy $P(x)$ s reálnymi koeficientami, ktoré spĺňajú $(x^2 - 6x + 8)\cdot P(x) = (x^2 + 2x)\cdot P(x-4)$ pre všetky reálne čísla $x$.

Majme $n^2$ bodov rozmiestnených do mriežky $n\times n$. Z nich náhodne vyberieme $2n$ bodov. Dva vybrané body sú spojené zelenou úsečkou, ak sú v rovnakom riadku, a červenou úsečkou, ak sú v rovnakom stĺpci. Dokážte, že existuje uzavretá lomená čiara s vrcholmi vo vybraných bodoch a so stranami tvorenými týmito úsečkami taká, že sa farby jej strán striedajú.

Prirodzené číslo $n$ nazveme chutné, ak pre ľubovoľné dve prirodzené čísla $a$, $b$ také, že $a+b=n$ platí, že aspoň jeden zo zlomkov $\frac ab,\frac ba$ má konečný desatinný rozvoj. Existuje nekonečne veľa chutných čísel? Svoje riešenie odôvodnite.

Nech $ABCD$ je štvoruholník, v ktorom existuje kružnica, ktorá prechádza stredmi všetkých strán tohto štvoruholníka. Dokážte, že $AC$ a $BD$ sú na seba kolmé.

Máme riadok, v ktorom je 1000 čísel. Pod tento riadok pridáme ďalší tak, že pod každým číslom $a$ je napísaná hodnota $f(a)$, kde $f(a)$ je počet výskytov čísla $a$ v predchádzajúcom riadku. Takto postupne pridávame ďalšie riadky. Dokážte, že po pridaní dostatočného počtu riadkov budú pod sebou dva rovnaké riadky.

Je daná rovnica $x!y!z!=t!$, kde $x$, $y$, $z$, $t$ sú prirodzené čísla väčšie ako jedna. Ukážte, že existuje nekonečne veľa štvoríc $(x,y,z,t)$, ktoré spĺňajú túto rovnicu.
Pozn.: $n!$ je číslo $n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$.

Majme $n$ nenulových čísel, ktorých súčet je 0. Ukážte, že je možné ich očíslovať tak, aby platila nerovnosť: $$a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_na_1 < 0.$$

Dokážte, že ľubovoľné celé číslo môže byť napísané ako súčet 5 tretích mocnín celých čísel.

Nech $ABC$ je ostrouhlý trojuholník s $|AB|<|AC|$. Nech $M$, $N$ sú postupne stredy strán $AB$ a $AC$ a nech $AD$ je výška v tomto trojuholníku. Na úsečke $MN$ zvolíme taký bod $K$, že $|BK|=|CK|$. Polpriamka $KD$ pretína kružnicu opísanú trojuholníku $ABC$ v bode $Q$. Dokážte, že body $C$, $N$, $K$, $Q$ ležia na jednej kružnici.