ZADANIA

3. cislo 16. rocnika XXX

Epizóda 3: Nová kamarátka

Kvarteto sa zmenilo v kvinteto. Päť ľudí Alenka, Feri, Jožko, Ďuro a Emilia sa plní nadšenia, elánu, odhodlania a kadečoho iného pustili do nebezpečnej misie po stopách zločinca Georgiho. Jeho pobyt však bol neznámy, a preto sa kamaráti rozhodli pristúpiť na rovnako podlé triky, aké používal sám Georgi.

Terčom sa stála Georgiho poštová schránka. Za malými dierkami sa mihala obálka veľkosti C5 (klasická malá obálka, aj keď rumunská). V záujme spravodlivosti sa ju fagan Jozef podujal vytiahnuť. Dlhým prstom to nerobilo problém. Slovenským kamarátom prebehlo hlavou kadečo, napríklad kde im mizli doma zo schránky noviny, a odkiaľ má Jozef takú šikovnosť. Za malú chvíľu mali list v rukách. Odosielateľom bol Friedrich Grotz, Gdynska 17, Targu Jiu. Friedrich sa bez ohľadu na obsah listu stal podozrivým a svedkom zároveň, aj keď nikto netušil, z čoho je podorivý a čoho je svedkom. Vydali sa teda na jeho adresu.

Nápis Gdynska 17 sa im zjavil pred očami. Bola to však veľká starodávna budova takmer uprostred centra. Bola veľmi pekná a evidentne udržiavaná. Vstúpili teda do nej, no hneď ich zastavila pani v rokoch a modrom svetri. " Kamže, kamže, mládež?". Bola to vrátnička, šatniarka a kadečo v jednom. Okamžite zistili, že sú v divadle. Opýtali sa, či tu nájdu pána Grotza. Teta im vysvetlila, že majú akurát skúšku, ale že ho môžu počkať v hľadisku. Chvíľu tam čakali, no hra bola pre nich v rumunčine dosť nudná, a keďže tam museli byť ticho, šli sa zhovárať na chodbu. Tam sa zhovárali štyria muzikanti. A keďže hra nie a nie skončiť, rozhodli sa s nimi zoznámiť. To však možno nebol najlepší nápad, pretože umelci sú umelci a niekedy bývajú divní. Prezradili im skoro všetko, no trochu zvláštnym spôsobom:

Muzikanti B, H, R, V tvoria kvarteto. Hrajú na piano, husle, violončelo a flautu v byte pána B. Violončelista, slobodný muž, býva u rodičov, hodinu cesty vlakom od pána B. Manželky pánov R a V sú najlepšie priateľky. Nástroj pána B má vždy najviac strán nôt. Huslista venoval pánovi R k narodeninám knihu.

Úloha 1:Na ktoré nástroje hrajú jednotliví muzikanti?

Skúška skončila. Zo šatne začali vychádzať ľudia. Jednej pani herečky sa Emilia opýtala, kde nájdu Grotza. Ona ukázala prstom, že práve vychádza. Chlapci sa obzreli, no videli len práve sa zatvárajúce dvere zadného vchodu. Vybehli von. Zvečerilo sa. Dvere viedli k parkovisku. Muž v čiernom kabáte sa mihal pri oprotistojacej budove a zrýchleným krokom sa ponáhľal preč. Dobehli ho a spýtali sa ho na Georgiho. Odvetil, že kedysi bývali kamaráti, no Georgi sa neskôr pustil do nekalých činností a ich priateľstvo sa rozpadlo. Povedali mu, že ho potrebujú súrne nájsť, a že ani len nevedia, ako vyzerá. Friedrich ich priateľsky pozval k sebe domov, že im dá Georgiho fotku. Povedal im aj o jednej chate, na ktorú predtým spolu chodievali, že možno sa zdržiava práve tam. Friedrich ich pohostil teplým škoricovo-jablkovým čajom. Nič lepšie si v chladnej rumunskej noci, v čase keď sem-tam aj mierne mrholilo, nemohli želať. Obývačka bola veľmi útulná. Friedrich im chvíľu rozprával o svojich mladých časoch, o priateľstve s Georgim i o svojej novej role. Rozlúčili sa a pobrali sa k Emílii, kde sa rozhodli prenocovať.

Na druhý deň ich čakala únavna cesta do kopca smerom k spomínanej chate. Istú časť cesty sa im rozhodla zasponzorovať Maria. Šli teda autobusom. Pred nimi sedeli dve deťúrence cestujúce k babičke (zrejme ju mali spoločnú). Chlapci boli naozaj nenápadní, až kým na ich rozhovor neupozornil načúvajúci Feri.

Prvý chlapec: " Všimol som si zaujímavú vec:
Keď vezmem čísla 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32,... (proste vždy dalšie je polovica z predchádzajúceho) a skúsim ich sčítať:

                   1/2 = 0,5
                 + 1/4 = 0,75
                 + 1/8 = 0,875
                + 1/16 = 0,9375
                + 1/32 = 0,96875
                      atď. 		     

Dostávam čísla vždy bližšie a bližšie ku 1, ale pokiaľ ma to bavilo, vždy to boli čísla menšie ako 1, navyše končia (okrem 0,5) všetky na 75. Nakoniec to kalkulačka zaokrúhlila na 1 celú, ale to predsa nemôže byť rovných 1, pretože to vždy končí na 75!"
Druhý na to: " Asi máš pravdu, keď tých čísel sčítaš koľko len vládzeš, tak dostaneš vždy 0,99999... /veľa deviatok/... /veľa iných číslic/...75, ale skús si predstaviť, že by niekto dokázal sčítať všetky tie čísla!"
Prvý: " Všetky? Veď ich je nekonečne veľa!"
Druhý: " Áno, mal by na to kalkulačku s nekonečným displayom a nekonečne veľa času! "
Prvý: " Skúšam si predstaviť..."
Druhý: " Podľa mňa vtedy by to vyšlo jedna presne."
Prvý: " A prečo?"
Druhý: " Rozmýšľaj so mnou: keď vezmeme 1/2, do jednej celej chýba 1/2. Keď k tej polovici čo máme, pridáme 1/4, tak z tej 1/2, ktorá chýba do jednej celej, vezmeme polovicu, teda 1/4, teda do jednej celej ostáva 1/4. Keď ku 1/2 a 1/4 pridáme 1/8, do jednej celej bude chýbať už len 1/8."
Prvý: " Nechápem!?"
Druhý: " Predstav si to ako keď režeš jeden meter dlhé drevo:

Odlomíš 1/2:

Zo zvyšného kusu (druhej 1/2) odlomíš polovicu, teda 1/4:


Potom zo zvyšku (čo je 1/4) odlomíš polovicu, teda 1/8:


Potom odlomíš 1/16:


A tak ďalej. Budeš do nekonečna odlamovať z toho, čo ti zostane, polovicu, ktorú priložíš k tomu, čo "sčituješ" a zvyšok budeš zase lámať na polovicu."
Prvý: " Už začínam chápať, áno, už mi je to jasné! Keby som ten zvyšný kúsok lámal na polovicu, tak vždy mi niečo, hoci len maličká omrvinka, zostane, preto súčet 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., keď vezmem len konečne veľa sčítancov, vyjde menej ako 1. Ale keď by som dokázal nekonečne veľa krát rozlomiť niečo na polovicu, tak ti uverím, že mi neostane vôbec nič, a teda súčet 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., kde sčítam nekonečne veľa sčítancov, bude rovný 0.999... /nekonečne veľa deviatok/ a tá 75 sa stratí v nekonečne. A číslo 0.999... /nekonečne veľa deviatok/ je jedná celá! "
Druhý: " Ta ty si mudry!"
Prvý: " No, ale teraz buď múdry ty!"

Úloha 2 Zistite, aký je súčet nekonečne veľa takýchto čísel:

Začneme s číslom 1/3 a každé ďalšie bude tretina z predchádzajúceho: 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + ... = ?
Začneme s číslom 1/4 a každé ďalšie bude štvrtina z predchádzajúceho: 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 + ... = ?
a zdôvodnite (napríklad podobne ako chlapci - geometricky) prečo je to práve to Vaše číslo!!!

Chlapcom sa aj toto s troškou Feriho pomoci podarilo. Rozhodol sa ich preto ponúknuť orieškami od Marie. Dala mu ich 2003. Ešte sa chválila, že je ich presne toľko, aký bude čoskoro rok. Feri sa ich podujal rozdeliť na sedem rovnakých kôpok, aby sa každému ušlo rovnako. Ferimu sa ale nechcelo odratúvať oriešky po jednom, tak to urobil len tak hala-bala od oka. Potom si postupne každý z ostatných šiestich (Alenka, Emilia, Ďuro, Jozef a dvaja chlapci) zobral jednu z týchto siedmich kôpok orieškov, Ferimu ostala posledná, siedma kôpka. Keď neskôr si všetci predsa len prerátali všetky svoje oriešky, zistili, že každý ich má iný počet, a že Feri ich má najmenej. (Tak mu treba lenivcovi.)

Úloha 33Zistite, koľko najviac mohol mať Feri orieškov vo svojej kôpke, ak ich mal najmenej zo všetkých, každá mal iný počet a spolu bolo orieškov 2003!

Autobus dorazil. Cestu do kopca mali aj s chlapcami spoločnú. Dorazili k chate. Nebola to obyčajná malá chatka, ale hotový zámok. Dokonca aj areál okolo chaty bol obohnaný priekopou presne kruhového tvaru ako v stredoveku. Priekopa je po celej svojej dĺžke rovnako široká. Keď sa jeden obyvateľ išiel prejsť okolo areálu po vnútornom brehu priekopy a na druhý deň po vonkajšom brehu priekopy zistil, že po vonkajšom brehu urobil o 55 krokov viac ako po vnútornom.

Úloha 4Zistite, aká je široká priekopa (v metroch), ak krok toho človeka meria priemerne 80 cm!

Nastal čas na akciu. Teraz už všetko začínalo byť nebezpečné. Preto sa museli rozlúčiť s chlapcami. Tí už boli aj tak na odchode, chceli sa ešte čo to u babičky poučiť na písomku z matematiky. Akurát brali deliteľnosť. Ďuro hneď zistil, že tomu vôbec nerozumejú. Vedeli síce, že číslo je deliteľné štyrmi práve vtedy, ak je deliteľné štyrmi jeho posledné dvojčíslie. Naučili ich to ako poučku. No tu ich vedomosti nielen začínali, ale aj končili.

Úloha 5Podrobne odôvodnite, prečo platí pravidlo o deliteľnosti štyrmi! Nájdite všetky také čísla m, pre ktoré platí, že číslo je deliteľné m práve vtedy, ak je jeho posledné dvojčíslie deliteľné m.

Vošli do chaty. Bola pre viacerých hostí, no udržiavaný vzhľad bol v ostrom kontraste s jej ľu-do-prázd-nos-ťou. Rozhodli sa teda chatu systematicky pomaly prekutrať. Najprv sa báli, kde na nich Georgi vyskočí, ale nakoniec všetká ostražitosť pominula. Došli až do knižnice, kde bola kopa kníh. Feri utrúsil, že ich tam je aspoň 110. No Alenka hneď oponovala, že zas viac ako 130 ich nebude. Boli poukladané na viacerých kôpkach, pričom počet nemusel byť na každej rovnaký. (Ale mohol, napríklad 5 kníh, 6 kníh, 2 knihy, 2 knihy, 10 kníh, 1 kniha, 10 kníh, 12 kníh; spolu 8 kôpok kníh.)
Chvíľu sa po miestnosti len rozhliadali. Potom vzal Ďuro do ruky z každej kôpky jednu knihu a vytvoril novú kôpku. Vtedy sa stalo to, čo si nikto okrem múch nevšimol. Počty kníh na nových kopách sa presne zhodujú s počtami kníh na starých kopách, to znamená, že ak pôvodne tam boli napríklad dve kôpky s 10 knihami, tak aj po preusporiadaní tam vznikli dve kôpky s 10 knihami (samozrejme, že to nemuseli byt tie isté kôpky), ak pôvodne tam nebola kôpka so 4 knihami, tak ani teraz tam nie je žiadna kôpka so 4 knihami atď...).

Úloha 6Koľko bolo kníh spolu? Koľko bolo kníh na jednotlivých kôpkach?

Pohybom kníh sa spustil tajný mechanizmus. Stena na konci izby sa otočila a za ňou bola tajná chodba. Feri sa prebral prvý z údivu, rozhodol sa vojsť, ale v tom vyletel z chodby chlap a zrazil ho k zemi. Utekal preč. Všetci ho poznali. Chlap z fotky -- Georgi. Všetci sa rozbehli za ním. Jediný zdatný atlét Jožo mu bol v pätách najdlhšie, už-už sa zdalo, že ho dostihne, avšak opäť získal malý náskok. Jožo sa preto rozhodol skočiť po ňom. Georgi na strmom svahu, po ktorom akurát bežali, nedopadol najlepšie. Nešťasne si udrel hlavu a ostal bezvedomí. Privolali sanitku, ktorá ho previezla do nemocnice. Georgi bol v kóme. Naoko koniec príbehu. Avšak, keď sa mladíci spamätali, prišli sa na Georgiho pozrieť do nemocnice. Od sympatickej sestričky zistili, kde ho nájdu. Otvorili teda dvere s číslom 314, no na posteli nikto nebol. Boli tam len akési odpojené hadičky od prístrojov. Ten huncút to len predstieral, možno nie od začiatku no niekedy sa prebral a ušiel. Boli takmer tam, kde začali. Avšak teraz je Georgi blízko a navyše bez poriadnych šiat.

Podarí sa Georgimu bez šiat zdúchnuť z okolia nemocnice?